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ANALYSE MATHÉMATIQUE.— Sur la transformation des fonctions ahélicnncs. 

 Note de M. G. Humbert, présentée par M. C. Jordan. 



« Soit un système de fonctions abélienncsà deux variables, de périodes 



I o i; h 

 o I h g" 

 supposons que l'on ait 



(0 g' = '^g-' 



à cette relation singulière entre les périodes répond, entre les modules des 

 fonctions abéliennes, une relation qui est algébrique, et qu'on peut ob- 

 tenir de la manière suivante : 



» Considérons une conique, et faisons correspondre à chacune de ses 

 tangentes, d'une manière univoque, un argument x; soient a;,, .. ., a;,., les 

 :irgumentsde six tangentes. Le radical 



\/( X — X,) (x ~ X,) . . .(x — Xg) 



conduira à des fonctions abéliennes dont les périodes vérifient la rela- 

 tion (i) si les six tangentes peuvent se répartir en trois couples, A et A', 

 B et B', C et C, de telle sorte qu'il existe un et un seul système simplemenl 

 infini de cubiques planes passant par les sommets des trois couples et tou- 

 chant en outre les six droites. 



» Cette condition est équivalente à la suivante, moins symétrique, mais 

 plus avantageuse pour le calcul : il existe une cubique et une seule, pas- 

 sant par les sommets des trois couples, avant un point double au point 

 d'intersection de A et de B, et touchant en outre les droites A', B', C et C. 

 Sous cette forme, on arrive à obtenir, sans trop de peine, la relation mo- 

 dulaire entre x^,x„, . . . , x^. Afin de simplifier, on peut supposer, comme 

 on en a le droit, 



a?, —ao, X.,^ o, 073 = T, x^~k'-, X5=/-, 



et si l'on fait pour abréger 



X. =z nr 



k 



^ m' 



„ \— k'- 



- k'- 

 l'équation modulaire entre X", /, m, qui correspond à la relation (i) eiilre 



