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ensemble contenu dans ce domaine), correspond un nombre déterminé. 



» Nous remplacerons cette notion par la suivante : 



)) Étant donné un ensemble d'éléments pourvus d'une infinité d'in- 

 dices, c'est-à-dire de la forme x^^,^_ ^ [voir ma Note : Sur la théorie 

 des ensembles (Comptes rendus, 4 décembre)], on suppose qu'à chacun de 

 ces éléments correspond un nombre; l'ensemble de ces nombres consti- 

 tuera une fonction définie sur l'ensemble d'éléments considéré. 



» Soit '1> un ensemble d'éléments x de la nature précédente ; soit F l'en- 

 semble des suites d'indices des éléments de $ ; nous supposerons F parfait, 

 et nous dirons aussi que * est parfait. Soit E l'ensemble de groupes qui 

 détermine F. 



» Considérons une fonction quelconque f(-v) définie sur l'ensemble 

 d'éléments <t>. Si g est un groupe de E, l'ensemble des valeurs i!(î la fonc- 

 tion pour les éléments contenus dans g a un maximum M[J(a:), g\, un 

 minimum m[/(iv), g\. Considérons maintenant un élément particulier, 

 soit.r3j y , ; il fait partie des groupes (a.,), (a,, z^ ),..., (ce,, a^, ..., z,,), ...; 

 la suite des nombres M relatifs à tous ces groupes a une limite que nous 

 appellerons le maximum de J\x) pour l'élément a?^ .^^ ^ et que nous 

 désignerons |)ar M [/(a?), j7„ „ ^ J. On définira d'une manière analogue 

 le nombre in( J',x^^^ j, ). 



Reprenons le groupe g. Il existe un nombre W{f,g) tel que les élé- 

 ments pour lesquels /> M' forment un ensemble de première catégorie 

 dans g, tandis que ceux pour lesquels /> M' — t forment un ensemble de 

 deuxième catégorie, quel que soit e >o. On définit de même m'(/, g), puis, 

 par le même procédé que tout à l'heure, les nombres M'(/, a,,,.» a, )» 



»*'(/.^-a„«....a,,.. )• 



» Ou a, pour tout élément x, 



i\I;;iVI'^w'îm. 

 ') Posons, en outre, 



r,\/,x\-^M\J\x\-m\f,x\, 

 n,'\/,x\=^M'\J\x\~m'\/,.v]. 



Si, pour un élément déterminé x, on i\J'{x) =^ M[/, x\, ou di;a que/ est 

 semi-continue supérieurement pour cet élément; de même, si /— m[/, x\, 

 la fonction esldile semi-continue in/érieureinent. Enfin, si l'on a y=M = ot, 

 la fonction est dite continue. 



» Quelle que soit /, les fonctions suivantes de l'élément x : M, — m, m, 



