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M', - m, u', sont semi-continues supérieurement, pour chaque élément. 



» H. Ces principes étant posés, je vais essayer d'en indiquer quelques 

 applications. Je me suis proposé d'étudier l'ensemble E de fonctions dis- 

 continues d'une variable, que j'ai défini dans une Note précédente (Com;?<e* 

 rendus, 6 juin 1898), et dans ma thèse (Ch. III, Section I). Cet ensemble E 

 possède les deux propriétés suivantes : i'' il renferme les fonctions con- 

 tinues (on pourrait se contenter de dire les polynômes); 2° il contient 

 toutes ses fonctions limites. Il se divise en classes de fonctions, marquées 



par les nombres de M. Cantor: o, 1 , 2, ...,/?,..., co, ..., x, La classe o 



forme l'ensemble des fonctions continues; la classe 1 forme l'ensemble des 

 fonctions étudiées au Chapitre II de ma thèse. 



» Dès qu'on aborde l'étude des fonctions de classe 2, on peut, dans le 

 champ de variation de la variable, faire abstraction d'un ensemble dénom- 

 brable quelconque; par exemple, si l'on considère le continu o<a;<i, on 

 peut se borner à étudier les valeurs àef{x) pour les valeurs irrationnelles 

 de X. D'autre part, considérons l'ensemble de tous les groupes d'entiers 

 possibles; les nombres irrationnels compris entre o et i peuvent être assi- 

 milés aux éléments x contenus dans ces groupes : on considérera l'élé- 

 ment x^^^_ „^ comme définissant le nombre irrationnel dont la suite 



(les quotients incomplets est (a,, a, a,,, ... ). On est ainsi ramené, 



pour la question qui nous occupe, à étudier àes fonctions d'éléments de la 

 nature indiquée dans le § I de cette Note. La théorie des Jonctions d'élé- 

 ments sera plus générale que la théorie des fonctions faite en prenant pour 

 point de départ un champ de variation continu de la variable; elle la com- 

 prendra comme cas particulier, mais elle nous permettra d'aborder des 

 problèmes dont cette théorie ne pourrait pas nous fournir la solution. 



» Revenons à l'ensemble E. Pour caractériser les fonctions de cet en- 

 semble, il est naturel de rechercher une propriété se conservant à la limite, 

 c'est-à-dire telle que, si les fonctions/,. /,, ...,/„ d'une suite possédant 

 une fonction limite/ la possèdent, la fonction/ la possède aussi. Je suis 

 parvenu à trouver une telle propriété; en voici l'énoncé sous sa forme la 

 plus générale : 



Si, pour chacune des fonctions f „ f ., /„, définies sur un ensemble par- 

 fait d'éléments <P, /a fonction ct'(/) a son minimum nul pour tout élément, la 

 fonction f limite def, est aussi de telle nature que ct'(/) a son minimum nul 

 pour tout élément. 



» Sous une forme plus abrégée, je dirai : La propriété exprimée par 

 "^[^'(/)\ = o se conserve à la limite. 



