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 Alors, sur les deux nappes, les lignes de courbure correspondront aux 

 conrbes du système conjugué tracé sur la surface des centres. 



1) D'après cela, si nous supposons que les deux nappes de l'enveloppe 

 soient l'une et l'autre des sphères, comme toutes les courbes de la sphère 

 sont lignes de courbure, on pourra dire que, sur la surface des centres (Q j, 

 l'équation ponctuelle relative à tout système conjugué admettra comme 

 solutions particulières 



X, y, z, R et a:- -h y^ + ;- — R-. 



C'est ce que l'on peut vérifier aisément, car le lieu des centres des sphères 

 tangentes à deux sphères fixes est une quadrique de révolution, le rayon R 

 étant une fonction linéaire de ce, y, z, ainsi que x'' -hy^ H- =■ - R^, d'après 

 la propriété même du foyer. 



» Cela posé, supposons que (Q) se déforme en entraînant les sphères de 

 rayon R. La surface déformée (0) admet avec (Q) un système conjugué 

 commun, et, d'après un remarquable théorème de M. Rœnigs, l'équation 

 ponctuelle relative à ce système conjugué admettra comme solutions parti- 

 culières 



X, y, z, X,, y,, s,, x^ -i- y + " — '^'i—.Y', 



■ t • 



M Comme, d'après la remarque précédente, elle doit admettre encore les 

 solutions R et a;- + y'^ -\- z- — R^, elle admettra donc la solution 



x\ + y\^z\--'^- 



qui est la différence de deux des solutions précédentes. Si nous retenons 

 uniquement les solutions particulières 



X,, 7,, =,, R, a:;+ y;-h2;— R-, 



nous serons conduits au théorème suivant : 



» De chaque point d'une quadrique de révolution (Q) comme centre décri- 

 vons les sphères (S) qui sont tangentes à une sphère fixe ayant pour centre V un 

 des foyers et, par suite, à une autre sphère fixe ayant pour centre l'autre foyer. 

 Si la quadrique roule sur une surface applicable (0) en entraînant les 

 sphères (S), l'enveloppe de celle de ces sphères qui a son centre au 

 point de contact de (Q) et de (Q) est une surface sur les deux nappes de la- 

 quelle les lignes de courbure se correspondent toujours et correspondent au sys- 

 tème conjugué commun « (0) ei à (Q ). 



» Cette propriété est, on peut le dire, caractéristique; elle ne convient 



