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qu'aux déformées des quadriques de révolution; le raisonnement permet 



de l'établir sans peine. En effet, le système conjugué commun à (Q) et à (©) 



étant variable, 



R et ûo- -h y- -[- z- — K- 



devront être des solutions particulières de l'équation ponctuelle relative à 

 une infinité de systèmes conjugués; cela ne peut arriver que si R et 

 X- -h y' -i- z' — R' sont des fonctions linéaires à coefficients constants de x, 

 y, z; on est ainsi conduit à l'équation de la surface (Q) sous la forme 



00- -h y- -h z- — (ax -\- by -i- cz -h d)- = a' x + h' y + c' z + d, 



qui définit une quadrique de révolution. 



» La réciproque que nous venons d'établir nous conduit maintenant à 

 la conséquence suivante : 



» Revenons à la proposition primitive dans laquelle les quatre points déjà 

 définis a, a', a,, a', décrivent des surfaces à courbure moyenne constante 

 dont les lignes de courbure correspondent au système conjugué commun 

 à (0) et à (Q) et, par conséquent, se correspondent mutuellement. 

 Les deux droites aa' , a^a\ étant dans les plans isotropes qui se coupent 

 suivant AA' vont précisément se rencontrer au point M' où l'axe AA' de 

 la surface (Q) rencontre le plan tangent en M ; le point M', comme on sait, 

 décrit la surface (©') qui est complémentaire de (©) (n"' 748 et suiv.) 

 et qui est, elle aussi, applicable sur une surface de révolution. Or, si du 

 point M' comme centre avec M'a et M'a' comme rayons on décrit deux 

 sphères, ces deux sphères ont évidemment pour enveloppes, la première les 

 surfaces (a) et (a, ) auxquelles elle est tangente en a et a,, la seconde, 

 les surfaces (a') et (a,) auxquelles elle est tangente en a, et a,. Comme sur 

 ces surfaces les lignes de courbure se correspondent, nous pouvons énoncer 

 le théorème suivant : 



» Si l'on déforme une quadrique de révolution (Q) de manière qu'elle 

 devienne une surface (0), la surface (0) aura pour complémentaire une sur- 

 face (0') qui, elle aussi, sera applicable sur une quadrique de révolution (Q'). 



I) Si l'on place cette quadrique (Q) de manière qu'elle soit tangente 

 en M' à (0') et qu'elle roule sur (©'), les rayons vecteurs qui vont à ses 

 foyers seront Ma, Ma, et, par suite, ces foyers seront les points a, a\ ou 

 a,, a', car on a 



Ma — Ma', = Ma — Ma'=: a'a = AA', 



et, d'un autre côté, aa\ étant la portion de génératrice comprise entre les 



