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 substitutions du déterminant i dont les quatre indices 'i,, l^, l^, i., et les 

 coefficients sont des entiers complexes de Galois formés avec une racine 

 imasinaire d'une congruence de degré 2 irréductible, mod. 2, et qui 

 laissent invariable la fonction 



» Les preuves de ces isomorphismes et de plusieurs propriétés du 

 groupe H se trouvent dans un Mémoire présenté récemment à la Société 

 mathématique de Londres. Je veux indiquer une preuve nouvelle de l'iso- 

 morphisme du groupe O au groupe H contenu dans le groupe de l'équa- 

 tion pour les vingt-sept droites sur une surface du troisième degré. Consi- 

 dérez le sous-groupe orthogonal A, d'ordre 960, qui est donné par 

 l'extension du groupe alterné entre cinq lettres E ,,..., E, par la substitu- 

 tion 



» Il est facile de démontrer que toutes les substitutions du groupe O 

 sont données dans le Tableau qui suit : 



R, =[A]W' (/ = 0,1,2), 



^,i, = [h}y^\i,l,){l^i,)w (* = i,2;^ = o, 1,2; i = i, 2,3,4;. 



» Les générateurs (^, l,){l/ç,), {1,1,1.^), {lJc,,_)Çc,Jq^)yV du groupe O 

 permutent les vingt-sept lignes R de notre Tableau de la manière sui- 

 vante : 



(l2)(^3''l) = (Rn 0^1 20X^-21 0^-220) (R( 30 R-|',o)(R23oR2.',o)(R) 3 1R231) 



X(R,4,R24,)(R,,2R222)(R212R|22)(Rf32R|/.2)(R232R212). 

 (l 42) =(R^,oR,2oR-f4o)(Rî)2R2S22 1^2142) (Ri2lR2S3)Riil) {s — i , 2), 



(l2)(45)=(R,R,,„)(R,R,,o)(RH0R,20)(R2.oR22o)(R2nR242) 



X (R22|Rl32)(R23lR2 12)(R|3|R2 1l)(R(i|Rl22)(Ru2R222)» 



W = (R„R,R2)(R,,„R,;,R,^,) (5^.1,2; 2=1,2, 3, 4). 



» Pour faire l'identification du groupe O avec le groupe H de Jordan 

 {Traité des substitutions, n° 442), il suffit de poser, au lieu des vingt-sept 

 lettres a, b, c, d, . . ., u', respectivement les symboles suivants : 



R.io, 

 R232' 



