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 initiales suivantes : 



/(o) = i. /'(o)=:o; 0(0) = o, (p'(o) = i. 



M On sail que c'est de la nature de la constante A que dépend principa- 

 lement le caractère des solutions de l'équation (i) dont l'intégrale géné- 

 rale, si l'on pose 



p = A + \/A- — I , 



peut se présenter (du moins si A- — i n'est pas nul) sous la forme 



y = C,F,(^)?"^ C,F,(a;)p"", 



où F, (a;), Faf.i) désignent des fonctions périodiques de .r à période w 

 et C,, C, des constantes arbitraires. 



» Pour l'équation considérée, A dépendra de [i. et en sera, évidemment, 

 une fonction entière. Dans une Note anlévieare (Comptes rendus, t. CXXIII, 

 28 décembre 1896), j'ai publié quelques résultats relatifs à la série 



A — I — A , y. + A. y.- — A3 ;x^ + . . . 



qui représente cette fonction. Maintenant j'ai l'intention de communiquer 

 certaines propositions concernant les racines de léquation 



(2) A- — I = o 



et relatives au cas où p{x) est une fonction réelle ne changeant jamais de 

 signe. Pour fixer les idées, je supposerai /?(j;)^o. 



» L'équation (2) admet une racine évidente [j. = o, et cette racine est 

 simple, puisque A,, qui est donné par la formule 



A. = 7 / p{x)dx. 



n'est pas nul. D'autre part, on s'assure aisément que, dans la supposition 

 adoptée, celte équation ne peut admettre ni de racines imaginaires, ni de 

 racines négatives. Il ne reste donc à considérer que des valeurs positives 

 de [1., et j'ai reconnu que, parmi ces valeurs, il se trouve une infinité de 

 racines qui, d'adleurs, ne peuvent être que simples ou doubles. 



» Ce résultat peut se rattacher à une proposition, due à M. Picard 

 {Traité d' Analyse , t. IIl, p. 121), que l'on peut énoncer comme il suit : 



» Quelle que soit la fonction réelle et continue/?(a;) ne devenant jamais 

 négative, et quels que soient les nombres réels a et b, entre lesquels cette 



