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foiiclion n'esl pas conslamment nulle, il existe une suite iniléfinie de 



nombres positifs 



a,, II..., 'J.,,, 



tels que, pour [j, = y.,, toute solution de l'équation (r), s'annulaat pour 

 ■r = a, s'annulera pour .x =^ h et encore pour / — i (et seulement pour 

 i — i) valeurs différentes de x, intermédiaires entre a et b ('). 



» Il est à remarquer qu'on a toujours ij.,<^ ;j.,^_, et que ;/., croît indéfini- 

 ment avec /. 



» En appliquant cette importante proposition au cas où p(x) est une 

 fonction périodique à période w ei en supposant 6 = a 4- co, on parvient 

 aux conclusions suivantes : 



» Tous les [j-i sont des fonctions continues et périodiques de a à période w. 

 Ces fonctions peuvent parfois se réduire à des constantes (comme cela 

 arrive toujours, s'\ p(x) est une constante). Si cette circonstance se présente 

 pour une valeur quelconque de i, le nombre correspondant [j-i sera une racine de 

 l'équation (2), et cette racine sera double. Si, au contraire, jx, dépend de a, 

 ce sera une fonction dont tous les minima seront égaux entre eux et dont 

 tous les maxima seront dans le même cas. Alors, [j!- étant la valeur com- 

 mune des minima et [j![ celle des maxima, les nombres [j.'- et [j'[ seront encore 

 des racines de l'équation (2), et ces racines seront simples. 



» Donc, si dans le cas de ja, = const. on se sert encore des notations \i.'- , 

 tj.'- (de sorte qu'on aura alors [j.J =-- 1^.^), tous les termes de la suite 



(3) o, ij.\, ;x';, [j-i, i>::,, j^;, j/;, ... 



seront des racines de l'équation (2), les racines doubles étant répétées 

 deux fois. J'ajouterai que cette suite comprend toutes les racines de l'équa- 

 tion (2) et que ces racines y sont rangées dans l'ordre croissant, puisqu'on 

 peut démontrer que l'on a toujours [j."- <| a)^,. D'ailleurs, les termes </■ , jx^ à 

 indice i impair sont des racines de l'équation 



A + I = o, 

 et ceux à indice pair, des racines de l'équation 



A — 1 ^ o. 

 )) Les nombres de la suite (3) étant exclus, ou jiout affirmer que, si [j. 



(') En parlant des solutions de l'équation (1), nous supposons toujours que la solu- 

 tion évidente j ^^ est exclue. 



