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nature de son bord, on sait(Ç/". E. Picard, Traité d'Analyse, t. I, p. no 

 et suiv.) qu'il est nécessaire et suffisant d'avoir entre les composantes A, 

 B, C, et cela quelles que soient x,y, z considérées en ceci comme trois 

 variables indépendantes, la relation 



dK dB dC 



» Dans l'occasion prochaine à laquelle je faisais allusion tout à l'heure, 

 je donnerai, de cette identité, une démonstration nouvelle, reproduisant 

 tout à fait par son tour et par son caractère quasi-intuitif celle de l'iden- 

 tité analogue j ;7~ ~ ^ 1"® ''°" rencontre dans la théorie de l'inté- 

 grale simple f(Xdx-hYdy), prise sur un arc de courbe. Pour le mo- 

 ment, je veux montrer seulement qu'elle constitue, comme cette dernière, 

 une condition d'intègrabililé exprimant que la. différentielle binaire totale, 

 incluse entre crochets dans l'expression (4), est exacte, c'est-à-dire, en 

 termes plus précis, qu'il existe quelque paire (u,v) de composantes à 

 trois places donnant une paire de fonctions composées [u(x,y, z), v(x,y, z)\ 

 dont le déterminant différentiel par rapport au couple (p,(/) reproduise, 

 quelles que soient les fonctions simples (2), la fonction composée diffé- 

 rentielle figurant entre crochets dans l'intégrale (3), ou bien encore, car 

 cela revient évidemment au même, qa^il existe quelque paire 



\u{x,y,z),i'(x,y,z)] 



de /onctions dex,y,z {considérées maintenant comme trois variables indé- 

 pendantes) dont les déterminants différentiels, pris par rapport aux couples 

 ( y. 2), (s, x), {x,y) respectivement, soient précisément les fonctions A, B, C. 

 » La recherche de fonctions telles que u, v revient effectivement à l'in- 

 tégration des équations différentielles simultanées, de formes spéciales, 



w (;:)=^- (:;)="■ (:;)==, 



qui conduisent immédiatement aux équations linéaires et homogènes aux 

 dérivées partielles 



, . .du T. du r^ du . d^' ^ dv „ dv 



(7) A^ + B^ + C^ = o, A^ + B-4-C^=o. 



puis, par la méthode de Jacobi, aux formules 



(8) M = l\>.,v), (' = «î)(f;i,v), 



