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 1' étant positif en vertu de (4), «',-,-, sera compris entre /;+., et la quantité 



(/,+i — x)2cp,+i(a.-)rfa; 

 moindre ^^ ; l'inégalité (5) est donc démontrée. 



» En d'autres termes : 



» Le correspondant d'un point appartenant à la première zone d'accès 

 de 4 reste donc dans la première zone d'accès de /,+ ,. C'est ce que nous 

 voulions établir. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les Surfaces à lignes de courbure 

 planes ou sphèriques. Note de M. Emile Waelsch, présentée par 

 M. Darboux. 



« Du centre de courbure principale c de la normale d'une surface F on 

 peut dériver, d'après M. Darboux ('), les points c,, Co, ... de sorte que la 

 droite cc^ est la caractéristique du plan normal de la ligne de courbure k 

 de F. On démontre : Si F est une surface P respectivement S, pour les- 

 quelles les k sont planes respectivement spbériques, le lieu de c^ est une 

 courbe qui pour V tombe dans l'infini Ç-). 



» Si e- du- + g"^ dv- est l'élément de la représentation sphérique $ de F, 

 en paramètres de lignes de courbure, les coordonnées d'un point de <ï> 

 satisfont à l'équation de Laplace 



(i) X„,-pX„-p,X,= o, où p = (/e).„ P, = (/^V 



» La demi-distance p des deux points c^ , c satisfait, d'après M. Guicbard, 

 à l'équation (2), adjointe de (i). 



» On trouve en s'appuyant sur un théorème de M. E. Cosserat (') : 



» 1° Si l'invariant h = pp, — [b„ de (i) s'annule, F est P. 



» 2° Si l'invariant h, = ih — /i_, — {ih),^^, s'annule le point c, décrit 



une courbe et F est S, si S|)écialement p = o-' 1 hdu; si p est une intégrale 



(') Voir Leçons sur la théorie générales des suif aces, t. II, livre IV. 



(-) Il suit que la développée (c) de S respectivement P est l'enveloppe de cônes 

 ou de cylindres, pour lesquels les caractéristiques sont géodésiques ; de là on peut 

 démontrer que le problème des S dépend de quatre et celui des P de trois fonctions 

 arbitraires de la même variable. 



C) Voir Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IV, p. 18. 



