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)) La première de ces équations donne 0„ = — ;/, où — -^ = M>.; de 

 la deuxième, on déduit : 



( 8 ) RP ( 2 [/.[x" -[j:-) + ( m- )' '^M.' - V'., <y-^o. 



» En éliminant M de (7) et (8), on trouve une équation en jjl de qua- 

 trième ordre et du deuxième degré dont le premier membre donne, en 

 dérivant et supprimant le facteur ;a, Véquation autoadjointe générale sui- 

 vante : 



2 IV ;j.'"' -t- ,} w [jr.'"' 4-2(2 w" -)- V") a'" 



-^(w"'-^3V')[;L"^-(V"- aVl)./- v;;;. = 0. 



» Les cinq fonctions U,, qui jouent le rôle de constantes arbitraires en p., 

 satisfont à la même relation quadratique, comme les intégrales (9). A cause 

 de la relation 



on démontre qu'elles satisfont aussi à une équation autoadjointe. Il reste, 

 par suite, une fonction arbitraire de u, car on peut poser Uo = i, U, = m. 

 » Si l'on suppose V, générale, on peut mettre les intégrales particulières 

 de (9) et les U, sous des formes spéciales qui se trouvent cbez M. Dar- 

 boux {lac. cit., p. 1 19 et i/jS). [j. prend par suite la forme 



A(«)o(.)j[[i(.'0-r(01(r-ï")- ^-^^ 



- ry"^^^ -^-(PY- rT')(" - 1- 



» En égalant les coefficients de (9) à ceux de l'équation à laquelle satis- 

 font ces formes spéciales de p., on trouve les V,, Y.,, V3 par deux qua^ 

 dratures. Les deux signes de ces quadratures sont les seuls qui figurent 

 dans les formules explicites pour 2. 



» Quant à II, on la trouve en posant «y = o; le jx correspondant satis- 

 fait maintenant à une équation autoadjointe générale du troisième ordre. 



» Il est aisé de voir comment se traitent les surfaces pour lesquelles les 

 deux systèmes de lignes de courbure sont planes on sphériques; pour 

 elles s'annulent deux des quatre invariants /i_.., h^,, li, /?, de l'équa- 

 tion (i). » 



