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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Trois formules très générales relatives 

 aux courbes dans l'espace. Noie de M. IV.-I. Hatzidakis, présentée par 

 M. Darboux. 



« Gœttingue, 3o mars 1S99. 



« 1. Étant données deux courbes quelconques c et c' dans l'espace, on 

 peut, de différentes manières, exprimer la courbure et la torsion de l'une 

 par la courbure, la torsion et l'élément de l'arc de l'autre et par la position 

 mutuelle des deux courbes. Le procédé le plus simple est le suivant : Soit 

 u la variable indépendante dont dépendent les deux courbes. Menons par 

 les points coi'respondants M et M' de c et de c' deux trièdres parallèles, 

 dont les axes des :; soient parallèles à la perpendiculaire commune aux 

 deux tangentes en M et M'; soit de plus axe des x d'un de ces trièdres la 

 tangente à la courbe c. Si Ton considère ces trièdres comme appartenant 

 à deux surfaces quelconques passant respectivement par les courbes et 

 ayant, le long de ces courbes, des normales parallèles (les axes des z et 

 des :.'), on peut évidemment appliquer à chacune des courbes les formules 

 de M. Darboux {Surfaces, t. 11, p. 354, 357; formules (17), (t8) et (22)]. 

 On aura alors pour la courbe c 



ds ds j 



— COSC7 EEs — = - - a du, 



P P« 



, , I ds . ds , 



(i) < — sin cî ^ — -= rdu. 



et pour la courbe c' 



P P.? 



f/? , ds , 

 dm^^— — — pdu; 



/ ds' , ds' . j , 



— 7-coscj SE -7- =-- smo) n du - cosw g du, 



10 



\ r r« 



/ \ j ds' . , ds' 1.1 



( 2 ) { --r sm CT ;^ -7 = «w -I- rdu, 



f ds' J , ds< 1 ■ 1 



— , rtcr 5^ —r -- — cosoj/J du — sin w (j (tu : 



d'où, en éliminant/:», c/, rentre (i) et (2), il vient 



ds' ds ds ■ 



— P ^ - - COS (i> SUl 0), 



Pn P« "a- 



, , ' ds' ds } 



ds' ds ■ ds 



—r = — sm co H cosoj ; 



