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 d'ailleurs se mettre sous une forme qui conduit plus rapidement encore au 

 résultat précédent. On peut l'énoncer comme il suit : 



» Lorsque deux droites invariablement liées l'une à V autre peuvent se déplacer 

 de manière à demeurer respectivement normales à deux surfaces distinctes en 

 deux points qui demeurent, chacun à une distance invariable du pied de la per- 

 pendiculaire commune, les points où l'une quelconque d'entre elles ( d) est coupée 

 par les deux plans isotropes qui contiennent Vautre (d') décrivent des surfaces 

 normales à la droite (d), la courbure moyenne de ces surfaces est constante et 



égale à ^ ^T^ ^ oc désignant l'angle et S la plus courte distance des deux droites. 



Les pieds de cette plus courte distance sur les deux droites décrivent des surfaces 

 qui sont aussi respectivement normales aux deux droites et dont la courbure 



totale a pour valeur constante ^^ ■ 



» En appliquant la proposition mise sous cette forme au cas qui nous 

 occupe, on voit immédiatement que les surfaces (F), (/')> (^)» («')*^^'^''''^®^ 

 par les points F, y, a, «'ont leur courbure moyenne constante et égale à -, 

 tandis que les points c, y décrivent des surfaces (c), (y) dont la courbure 

 totale est égale à -^ • 



» La démonstration précédente offre le grand avantage de montrer dans 

 quelles relations sont les quatre surfaces à courbure totale constante qui 

 figurent dans le théorème de M. Guichard. Aux surfaces (c), (y) il faut, 

 en effet, associer la surface (y') décrite par le milieu y' de F'/ et la sur- 

 face (c') décrite par le milieu de la droite désignée précédemment par «,«',, 

 droite qui se trouve dans le second plan isotrope (I!,) passant par AA'. Les 

 points y, y' sont dans le plan méridien de (Q) et en ligne droite avec son 

 centre; les points c et c' sont symétriques par rapport à ce méridien. 



» Le quadrilatère yc^'c' est un losange gauche dont les quatre côtés ont 

 pour longueur commune bi; deux faces consécutives de ce losange, cyc', 



yc'Y par exemple, se coupent sous un angle constant dont le cosinus est - 



et la tangente au méridien de (Q) qui passe en M est la perpendiculaire 

 commune aux diagonales ce', yy' de ce losange. Quand il se déplace en se 

 déformant, chacun de ses sommets décrit une surface de courbure con- 

 stante — tangente aux deux côtés du losange qui se croisent en ce sommet. 

 On passe de la surface décrite par l'un des sommets à la surface décrite 



