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 par le sommet contigu à l'aide d'une transformation de BackUind. Au 

 reste, ce losange est an cas particulier d'un quadrilatère gauche ayant des 

 propriétés analogues et décrit par M. Blanchi dans l'étude approfondie que 

 nous lui devons de la transformation de Backlund. 



» Les résultats que nous venons d'établir ont été obtenus en partant 

 d'une quadrique de révolution (Q). Si l'on prend comme point de départ 

 l'une des surfaces à courbure constante, (y) par exemple, on est conduit 

 au théorème suivant : 



» Étant donnée une surface (y) à courbure totale constante, faisons-en 

 dériver deux autres à courbure constante et égale, (c), (c'), par deux transfor- 

 mations de Backlund, différentes l'une de Vautre et assujetties à l'unique 

 condition que les angles constants sous lesquels les plans tangents en c et c' 

 à (c) et à (c') coupent le plan tangent en y à (y) soient égaux et de sens 

 contraires. Ces plans tangents se couperont suivant une droite passant par-^, et 

 il y aura évidemment sur cette droite un point y', et un seul, tel que 



y'c — y'c' ;= yc = yc', 



c'est-à-dire tel que le quadrilatère gauche ^^' c^c' soit un losange. Ce point (y') 

 décrira, lui aussi, une surface à courbure constante, de même courbure que les 

 premières et tangente aussi aux deux côtés cy', c'y' du losange qui se croisent 

 en y'. On peut construire deux sphères, l'une (S) tangente en y, y' aux deux 

 surfaces (y), (y'), l'autre (S') touchant en c et c' les deux surfaces (c), (c'). 

 Ces sphères sont, par suite, tangentes l'une et l'autre aux côtés du losange. 

 Leurs centres décrivent respectivement deux surfaces (0), (©') qui sont complé- 

 mentaires et applicables sur la même quadrique de révolution (Q). L'axe non 

 focal de (Q) est égal au côté du losange multiplié par li, et son excentri- 

 cité- est le cosinus de l'angle constant sous lequel se coupent deux faces consé- 

 cutives quelconques cyc, yc'y' du losange. 



» La démonstration précédente ne résulte pas immédiatement de tout 

 ce qui précède; mais on peut l'établir complètement, soit par l'Analyse, 

 soit par la Géométrie. Voici la démonstration géométrique : 



» La partie de l'énoncé relative à la surface (y') résulte immédiatement, 

 nous l'avons déjà remarqué, des propriétés de la transformation de 

 Backlund signalées par M. Bianchi. Soient maintenant M, M' les centres des 

 sphères (S), (S'). La ligne MM' est évidemment la plus courte distance des 

 diagonales ce' et yy'du losange. Le point M, qui est à l'intersection des nor- 



