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maies en y, y' aux surfaces (y), (y'), décrit la surface (0) dont le plan tan- 

 gent contient à la fois MM', les deux normales en c, c' aux surfaces (c), (c') 

 et bissecte par conséquent l'angle yMy'. De même la surface (0') décrite 

 par le point M' a pour plan tangent le plan yMy'. Les plans tangents aux 

 deux surfaces (0), (©') sont donc rectangulaires et se coupent suivant MM'. 

 Il résulte de là que ces deux surfaces sont complémentaires, c'est-à-dire 

 qu'elles constituent les deux nappes de la développée d'une troisième sur- 

 face dont la normale serait MM'. Il reste à démontrer que l'une de ces sur- 

 faces, (6) par exemple, est applicable sur une quadrique de révolution (Q). 

 » A cet effet, construisons sur la figure tous les points que nous avions 

 considérés précédemment : a, a' , a^, a',, F,/, F',/', placés respectivement 

 sur les normales aux surfaces (c), (c'), (y), (y'), F, F' étant accouplés par 

 la condition de se trouver dans les mêmes pians isotropes menés par les 

 normales aux surfaces (c), (e'), et de même pour a, a',; a', a,. Si l'on 

 désigne par bi le côté du losange, c'esL-à-dire la plus courte distance des 



normales en c et y aux surfaces (c), (y), et par - le cosinus de l'angle que 



forment ces deux droites, on retrouvera, pour les distances mutuelles des 

 points a, a' , Y,f, . . ., les valeurs qui ont été données plus haut. En parti- 

 culier, le tétraèdre aa' Yf aura pour faces des plans isotropes et la distance 

 FF' sera égale à 2 c. 



Considérons le cercle normal en c, c' aux surfaces (c), (c'). Comme, 

 sur ces surfaces, les lignes de courbure se correspondent, ce cercle engen- 

 drera un système cyclique (n° 476 des Leçons) et, comme l'un des foyers 

 de ce cercle est le milieu O de FF', comme FF' est l'intersection des plans 

 isotropes tangents en c et en c' à ce cercle, il résulte de la proposition fon- 

 damentale relative aux systèmes cycliques (n°* 936 et suiv. ) que les points 

 O, F, F' seront invariablement liés à une surface (Q) applicable sur (q) et 

 roulant sur (0). Cette surface (Q) étant le lieu du point M, dans le système 

 mobile, sera donc décrite par le centre M d'une sphère (S) qui restera 

 tangente à deux sphères fixes de rayon a ayant pour centres respectivement 

 les points F, F'. Par suite, (Q)sera une quadrique de révolution admettant 

 les points F, F' pour foyers et dont l'axe de révolution sera égal à 2a. C'est 

 le théorème qu'il s'agissait d'établir. 



» Il me reste à montrer comment on peut vérifier par l'Analyse et tra- 

 duire en formules les résultats que nous a fournis la Géométrie. » 



