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 » Trois cas sont possibles : 

 » a. Les équations (2) sont (les identités; 

 » b. Elles se réduisent à une seule, c'est-à-dire on a identiquement 



(2') 



". -- «„ 



AG. 



v„^BG, 



A, B, G élant régulières et de plus G = o, pour a? = o, j' := o; 



» c. Elles sont distinctes (du moins auprès de l'origine), et, par con- 

 séquent, la solution a? = o, )' =^ o est isolée. 



» On s'assure aisément que ces caractères ne dépendent pas du choix des 

 intégrales u, c. 



» Proposons-nous maintenant de rechercher s'il y a des intégrales «-> 

 de (i), régulières dans le domaine du point O et jjériodiques en t avec la 

 période t. Tout d'abord il est bien clair que dans l'hypothèse (a) toutes les 

 intégrales de (i) sont périodiques; dans l'hypothèse (c), au contraire, il 

 n'existe aucune intégrale w^ Le cas (b) exige une discussion plus détaillée. 

 L'équation (i) admet au plus une intégrale périodique iv (c'est-à-dire pas 

 deux indcpondanles). Mais cette intégrale périodique existe-t-elle effecti- 

 vement? Je vais montrer qu'il en est ainsi, du moins lorsque (en supposant 

 G exprimée par «„, i„) 



(-3) ( 1 -r A-î 1- B- 



. dG 



A -5 — -i- 



.r=j=0 



» Le premier membre de (3) est invariant j)ar rapport aux chani;ements 

 du système des intégrales u, v. Si l'on passe, en effet, de», c à u(u, c), 

 c(m, v), on voit de suite que les coefficients A, B de G dans m, — «„, <', -^ t»,, 

 se réduisent, pour a? =_y = o, à 



^A + ^B 



t^A-ht^B 



d'où 



JG 



B 



dG 



diu 



B^) . 



dG dG 



» Comme, d'après (3), -r— 5 -p ne s'annulent pas à la fois en O, je puis, 



par une transformation convenable de variables, supposer G — x. Déplus, 

 je prendrai w, = a?, i'o=y. On tire alors de (2'), en écrivant a:,, 7, pour 



(4) 



ar, = ar[i + A(a:, j)], y,= y + xB(x, y). 



