( 9^o ) 



» La condition (3) nous assure que 1 1 -t- A|j._^.^(| n'est pas égal à l'unité ; 

 il e^it loisible de le supposer ■< i. Autrement il suffirait de changer t 

 en — T. 



» Ceci posé, prenons les itérations de (4) en faisant 



(5) (-«.^^-J.-i-M-.rO] („^,, ,,...), 



( 7«.-i=7« + ^«B(a;„, j„) 



» On démontre sans peine ('") que liin.z;„ = o, tandis que _/„ converge 



vers une fonction h'„, régulière en O, qui se réduit à j, pour a' ^ o. Elle 

 ne change pas d'après sa définition lorsqu'on remplace x, y par ce,, y,. 

 L'intégrale de (i), qui se réduit à w„ \wi\v t = o est donc l'intégrale pério- 

 dique (p, dont il s'agissait de prouver l'existence. 



» Il y a des ras où la simple inspection de l'équation (i) permet d'af- 

 firmer qu'on se trouve dans l'hypothèse (è) [sous la restriction (3)|, 

 et par suite qu'il existe une intégrale iv. C'est ce qui arrive par exemple 

 siX = £rX,, Y = 3cY,, Y,, X, se réduisant respectivement à zéro et à une 

 constante oc ^/^ o, et telle que aT ne soit pas purement imaginaire pour 

 ce =y=^ o. On a alors, pour toute intégrale u de (i), 



«I — W„ — J7 



,^(^■s^-^.|)* 



(') Remarquons pour cela que, ayant | i -h A |v= , -o < i, on peut choisir des nombres 

 positifs M < I, N, R tels qu'on ait à la fois 



(6) |.-HA(a-,j)|<M, |Btx,y)|<i\, 



pour \x\, \f\ <; R. Définissons en outre un rayon p moyennant l'inégalité 



(7) p('-^r--M)<'^' 



pour \u-\, |y|<p, on a 



ki|<?M, L'-.-7l<?N. 



D'une façon générale, en supposant 



|j7v|<?M''> l/v- Vv_i|<?NM'-' (v = i,3, .....-0, 



on trouve, à cause de (5), (6), (7) 



\u;,^, I < pM«+', \y„^,-j'„\ < ? NM" ; 



dès lors la démonstration s'achève d'elle-même. On peut dire, à un certain point de 

 vue, que c'est le théorème bien connu de M. Kœnigs sur les substitutions uniformes, 

 étendu au cas de deux vai'iables. 



