(982 ) 

 forme 



(3) % = Y{.,yJ) 



où F est une fonction donnée de x, y,f et oùy e^t un des coefficients en x 

 figurant dans F, sur lequel nous porterons particulièrement notre attention . 

 » Nous appellerons, pour abréger le langage, point ordinaire, du plana;oj 

 tout point X ^= a, y =^b pour lequel la fonction F est déterminée, finie, 

 continue, ne change pas de détermination et pour lequel, de plus, en 

 posant 



^¥(x,Y,f) = W{x,y,f) 



les deux quantités 



W{x, ~ i, y„J\x„ - t)\ et W{x,+ z, r„,/(.r, h- s)J 



sont du même signe pour s suffisamment petit ( ' ). 



» Si {x^, jK(,) est un point ordinaire, on peut, en premier lieu, en posant 

 y(a;o)=p, déterminer deux valeurs constantes X et a telles qu'on ait 

 )v <; p << (j. et que, t variant de ^ = >. à i = [j., la fonction W(^x„, y^^, t) consi- 

 dérée comme fonction de i, reste finie, continue et difiérente de zéro. En 

 second lieu on peut déterminer, et cela d'une infinité de manières, deux 

 fonctions cp(a") el<li(x) satisfaisant aux conditions suivantes : 



)) 1° '!f(x^)=^\, '\i(x^) = ii.; 



)) 2° (^es fonctions sont finies et continues dans un intervalle suHisam- 

 ment petit mais fini de a- =; a, à a; = a^ (avec a, <ixt, <C «-); 



» 3° Dans cet intervalle on a constamment 



o(x)</(x)<^(x); 

 )) 4° En désignant par a et t» les intégrales respectives des équations 



(4) ^ = F{x,u,^), ;^=F(a-,.,^), 



prenant pour x = aro la valeur commune Wo = c,, = j'„, les fonctions ii et v 

 sont finies et continues dans un intervalle suffisamment petit, mais fini, 

 de X =: c, k X =^ «2, tel que a, <^ .r„ <^ aj. 



(') Les points non ordinaires, au sens précédent, appartiennent à certaines courbes 

 fixes dans le plan xoy, que l'on connaîtra d'avance, ou bien sont isolés et fixes. 



