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 » Les fonctions <p et <]/ étant choisies comme il est dit, posons 



R,(a;,e,) = 9 + (/-<p)e, 



R,(a:,6,)=/+(^_/)9,. 



où 0, ct9o sont deux nombres arbitraires, indépendants dex, et envisageons 

 les deux fonctions 



\]{x,%,) = W(x,u, R,). y(a;, 9j) = W(x,v,R^_) 



considérées comme fonctions de x, 6,, 6j, après y avoir remplacé ii, c. 

 R), Rj par leurs valeurs en x, 6,, Ô^. 



» Les fonctions U et V sont finies et continues pour x = x^; de plus, 

 les équations 



U(a7„,9,) = o, V(xo,%;,) = o, 



résolues par rapport à 0, et O2. n'ont aucune racine comprise entre o et i . 

 Ceci tient à ce qu'on a identiquement 



V(x„,<i,) = W(x„y„,R,)' 

 \{x„(i,) = W(x„,y„R,), 



et que, 6, et 0^ variant de o à i, les expressions R, et Rj varient entre X 

 et [).. 



» Les fonctions U et V ne s'annulent donc pas pour x = x„ et ont 

 un signe constant et convenu pour cette valeur dex, quelles que soient les 

 valeurs de 0, et 62 entre o et i. Mais cette propriété subsiste évidemment 

 pour les valeurs de x comprises dans un certain intervalle suffisamment 

 petit, mais fini, de ^r = fi, à ic = p,, tel que P, ■< ^0 <C Pa- 



» On aura, par exemple, une limite inférieure de l'étendue de cet intervalle, en 

 cherchant un intervalle de œ^ — ^, à a:„+ g-^, tel qu'en désignant par (MjjMj) et 

 (N,, N2) les limites respectives, entre lesquelles varient les fonctions (tp, ij;) et (m, f') 

 pour ic compris dans cet intervalle, la fonction 'j'C'^i/i/) reste finie, continue et dif- 

 férente de zéro lorsque x varie de jcq — ffi à iCo+ g%, y de N, à N, et/ de M, à M^. 



» Enfin, le point {x^, y a) étant ordinaire et les fonctions u et v prenant 

 pour X ^ a;,, la valeur ;/„ = t'„ ^ J'o» i' existe de part et d'autre dex ^^ x^ 

 un certain intervalle de a- = y, àa; = y2 (fivec Y,<;a7(|<^y2), d'une étendue 

 finie, et tel que tous les points (^x,y'), à l'intérieur du contour formé par 

 les deux courbes j = u(x) et j = v{x) et les deux droites a; = y,, a; = yj, 

 soient ordinaires. 



