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 et (léfinissons un angle 6 par les deux équations différentielles suivantes 



(4) 



m 



m 



l -;, — f- -— =: sinQ cosco — n cos9 sinw, 



\au ov J 



/dô do>\ . . . . 



^r — ^- —- ) = — cos9 sinw + n sm9 costo, 



\dv au 



qui sont toujours compatibles et admettent une intégrale commune avec 

 une constante arbitraire toutes les fois que co satisfait à l'équation (2). 

 Cela posé, si nous construisons le trièdre (T) formé par les tangentes aux 

 lignes de courbure et la normale de la surface, le point c, dont les coordon- 

 nées relatives à ce trièdre sont données par les formules 



(5) a; = /?2COs9, j=:TOsinO, 5 = 0, 



décrira une surface (c) qui aura, elle aussi, une courbure constante et 

 égale à — I et dont le plan tangent en c aura pour équation 



(6) a?sinO — jcosô H — ^z = o. 



» Ce plan tangent passe donc par la droite ryet fait avec le plan desa:j, 

 c'est-à-dire avec le plan tangent de (y) en y, un angle dont le cosinus est n 

 et le sinus m. Quant à l'élément linéaire de la surface (y), il sera donné par 

 la formule 



(7) </.y2=.cos-e(/«='+sin»0rf('^ 



» Définissons maintenant un autre angle ô' par les équations 



( m I — + ^ ) = sinô' coso) + n cos9' sinw, 



(8) ) ^ " ' 



\ m i^ + ^1 — — cosô' sino) — n sinQ' cost», 



1 \di' du] 



qui ne diffèrent des équations (4) que par le changement de /i en — n. Le 

 point d qui aura pour coordonnées 



(9) a;' = mcosO', y = msin6', z'—o, 



décrira une surface (e) à courbure constante — i, dont le plan tangent 

 en c\ aura pour équation 



(10) arsinô' — j'cosô'— — s = o. 



