( I02I ) 



tions 



(i3) 



X- -h Y- + Z= + 



X-+Y= + Z- + 



2 COSto 

 2 silKO 



rf logX 



2l 



X = o. 



Y = o, 



X- + Y= + Z--t- -^Z =o. 

 1J. + P 



où >. et y. sont définis par les équations aux dérivées partielles 



(i4) 



-r— = COtto -T-j 



du au 



-T- = — tan£[co-~-- 



de ^ av 



Les deux premières équations (i3) définissent le cercle (C) qui engendre 

 le système cyclique, la troisième définit une sphère (S) qui est tangente à 

 (y) et coupe le cercle (C) en un second point yo qui décrit une surface 

 normale au cercle. De sorte que l'enveloppe à deux nappes de la sphère (S) 

 se compose des surfaces décrites par les points y et yo, et, sur ces deux 

 nappes, les lignes de courbure se correspondent. 



» Or les équations (i3) deviennent identiques aux équations (n) si l'on 

 pose 



a + p = - tanffc'. 



<JlogX 

 du 



I COSSCOSIO 



m cos a' 



d\o%k 



I sinasino) 



; 1 



m cos a' 



et d est aisé de reconnaître que ces équations ne sont pas incompatibles et 

 permettent de déterminer 1 et [/. + p. La condition d'intégrabilité relative 

 à log). se vérifiera même très aisément si l'on met les équations (4) et (8) 

 sous la forme suivante 



(i5) 



(.6) 



- + -^ ) = sincT cosc' cosco -t- n sine' sinw), 

 u dv j ^ 



cos(î( — cosc' sinw + /i sine' cos oj) ; 



(Je 



m 



TOI -j- 4- V" 



ov au 



l m-^- -= cos<ï('sincr'coso> — « cose'sinoj), 

 \ au ^ 



(A t 

 /n-;— = sine(sine' sin to + « cosg' cosw). 



qui fait mieux apparaître les deux fonctions c, a', 



» Il est donc établi que la surface (y') correspond à (y) avec conserva- 

 tion des lignes de courbure; mais si l'on calcule de plus son élément li- 



ts 



