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et que son centre M' décrit une surface (0') complémentaire de (0) et 

 applicable aussi sur (Q). 



» Au lieu de poursuivre la démonstration dans le détail, je préfère 

 m'arrêtpr au point important et chercher ce que donnent les résultats pré- 

 cédents quand on les applique aux surfaces à courbure constante positive. 



» Pour obtenir une surface à courbure constante ~z, effectuons une 



transformation homothétique avec le rapport de similitude r// et rempla- 

 çons dans la formule (i), a et w par Mf et <o« respectivement. L'élément 

 linéaire de la surface (y) deviendra 



(22) ds- = a- cos-ot c^«^ — a* sin-Midi>^, 



(j satisfaisant à l'équation 



(.3) 





ai'' 



rsuioHcostoi. 



» Remplaçons m et n par - et -; za, ib, o.c seront les axes el la distance 



focale de la quadrique de révolution dans laquelle se transforme (Q). liCs 

 équations (i5), (16) prendront la forme 



smwf. 



(2-'.) 



(25) 



lol-r- 77)= aisinO cos^o) — c^cosO su 



j , /r)6 di»\ ... 



\ b\T' + ^i— = " acosO sm^to 4- csiii'i coswi, 



\ \oc du) 



l ft( -T jT ) ~ aîsmtl cos«co +cicos0 suitoi, 



hS 



du 



= — acosO' sinùo — c sinO'cosw?', 



et elles ne pourront déterminer pour 9 et G' que des valeurs imaginaires, de 

 sorte que le losange ycy'r' aura ses côtés et deux de ses sommets imagi- 

 naires; mais le point y' pourra être réel comme y. // en sera de même des 

 points M et M' qui décrivent les surfaces (0), (0'). 



» En effet, les équations qui définissent le point y' sont ici 



(26) 



X" 



y 



ilj cos a' „ 2 ib cos 5' „ • „ , 



2 X = : y =— o-icz coin ; 



COST sina '' 



celles qui définissent le point M sont 



(27) a; = j = o, 



— Jccots'. 



