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» Enfin le point M' sera le centre de la sphère 



( 20 ) œ- -h Y' + ^' — ^bi ,x — ibi ; y — aîctane;^ z — b- = o. 



)) Supposons d'abord qiielaquadrique (Q) soit un ellipsoïde ayant pour 

 grand axea. Les constantes 6 et c seront réelles. Les équations (25) seront 

 vérifiées si l'on y fait 



Ofl étant l'imaginaire conjuguée de G. Alors, tanga', co?,':' seront des quantités 

 purement imaginaires, les surfaces (y)» (©), (©') seront réelles et la transfor- 

 malion de (y) en (y') s'obtiendra par la seule intégration du système (34). 



M II en sera de même si (Q) est un hvperboloïde à deux nappes. Alors, 

 bi sera réelle; on pourra prendre 6'= 9„, et les équations (26) à (28) se 

 présenteront encore sous forme réelle. 



» Dans le cas où (Q) serait un ellipsoïde aplati, les surfaces (r) et (c'), 

 (y) et (y') seraient imaginaires conjuguées. 



» En résumé, le théorème de M. Guichard permet d'utiliser, pour la 

 Géométrie des éléments réels, les transformations de MM. Blanchi et Biic- 

 klund lorsque, appliquées aux surfaces à courbure positive, elles se pré- 

 sentent sous une forme nécessairement imaginaire. 



» Il existe du reste d'autres transformations réelles des surfaces à cour- 

 bure constante qui utilisent d'une manière plus complète les transforma- 

 tions de MM. Blanchi et Biicklund lorsqu'elles sont imaginaires. Il suffit, 

 pour les obtenir, d'efl'ectuer successivement deux transformations de 

 Bacldund, assujetties à l'unique condition d'être imaginaires conjuguées 

 l'une de l'autre. Je laisserai ce sujet de côté pour le moment afin de ni'oc- 

 cuper des rapports qui existent entre la théorie des surfaces isothermiques 

 et la déformation des quadriques les plus générales. Ces rapports, déjà 

 signalés dans un cas particulier par M. Thybaut, ont leur origine dans la 

 proposition suivante : 



» Si une quadrique générale (Q) roule sur une surface applicable (0), les 

 8 points où les génératrices isotropes de (Q) coupent le plan de contact de (Q) 

 et f/e (6) décrivent 8 surfaces isothermiques qui peuvent se grouper en quatre 

 couples formés de surfaces ayant même représentation sp/iérique, ou en douze 

 couples formés de surfaces normales à des cercles faisant partie d'un système 

 cyclique. » 



