( io66 ) 



)> On voit que YX(/) = Y[X(/)] n'est pas égal, en général, àXY( /"); 

 je supprimerai généralement l'indication (/) et j'écrirai X et YX au lieu 

 deX(/') et YX(/). Un opérateur quelconque, combinaison des opéra- 

 teurs X, Y, Z se présentera sous la forme d'un polynôme symbolique en X, 

 Y, Z. Seulement il convient d'observer que dans un produit symbolique 

 on n'a pas le droit d'intervertir l'ordre des facteurs. 



» Ainsi XY n'est pas égal à YX; et (X + Y)- n'est égal ni à 



X^ + 2XY + Y% 



ni à 



X= + 2YX + Y% 



mais bien à 



X- + XY 4- YX 4- Y^ 



» Un polynôme symbolique sera dit normal, si tous les termes qui ne 

 diffèrent que par l'ordre des facteurs ont même coefficient; en général, un 

 polynôme symbolique ne peut pas être mis sous la forme d'une somme de 

 puissances et de polynômes linéaires; les polynômes normaux le peuvent 

 seuls. 



)) Je poserai, suivant l'usage, 



XY-YX^[X,Y]. 



et je supposerai que nos opérateurs sont liés par certaines relations (que 

 j'appellerai relations de structure parce qu'elles définissent la structure du 

 groupe) et qui seront de la forme 



[X.Y]=U, 



U étant un polynôme linéaire par rapport à nos opérateurs. Les coefficients 

 de ces polynômes linéaires U ne seront pas quelconques; mais ils devront 

 être choisis de façon à satisfaire aux identités associatives 



[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = o. 



» Les relations de structure permettent de transformer les polynômes 

 symboliques et l'on commence par démontrer que si les identités associa- 

 tives ont lieu, on peut toujours transformer d'une manière, et d'une seule, 

 un polynôme symbolique quelconque en un polynôme normal. 



» Cela posé, considérons n opérateurs X,, Xo, . . ., X„, satisfaisant à un 

 système de relations de structure et d'identités associatives ; envisageons 



!»;«:ii. 



