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les siibstitiilions infinitésimales qui changent f en f-\- i^X^(/) oh i,,t„, ..., 

 t„ sont n constantes infiniment petites ; et les puissances de ces substitutions. 

 On sait qu'une puissance quelconque de la substitution i + e^X/t est égale à 



tX,, t^Xl t^Xl 



où t est une constante et peut être représentée symboliquement par e'*'. 



» Considérons plus généralement une combinaison linéaire quelconque 

 de ces substitutions infinitésimales 



iH- E,X, + £oX, -I-. . .-f- £„X„; 

 une puissance quelconque de cette combinaison pourra s'écrire 



I + 



/>! 



où les t sont des constantes, et se représentera symboliquement par 



g(,X, + (jX.+...-f-/„X,._ 



» Soient maintenant deux combinaisons linéaires 



T = ^X,+...+ /„X„, V = r,X, -^...+ ^■„X„. 

 » Considérons l'opérateur 



Cet opérateur se présentera sous la forme d'une série dont tous les termes 

 sont des polynômes symboliques en X,, X^, . . ., X„. Grâce aux relations 

 de structure, ces polynômes peuvent être transformés en polynômes nor- 

 maux. 



» Je dis qu'une Jois celle iransformation faite, notre opérateur se présen- 

 tera sous la forme d'une série symbolique 



'"=2^' 



ou 



W = (v, X, + irjX,+...-l-n'„X„. 



» Ce théorème serait évident si nous savions d'avance que le groupe 

 existe; encore faudrait-il chercher à déterminer les w en fonction des tel 

 des i>, ou ce qu'on pourrait appeler les règles de multiplication des substi- 

 tutions du groupe. 



