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» Mais nous voulons précisément démontrer l'existence du groupe 

 dont nous ne connaissons que la structure. 



» Supposons d'abord que V soit infiniment petit, et soit W = V + U,,, 



Uo = «,X,+...-f-«„X„ 



étant un opérateur infiniment petit. Posons maintenant 



[T,U„J=U., [T,U.] = U,. [T,U,]=U3, ...; 



on trouvera aisément, en s'aidant des relations de structure et négligeant 

 les infiniment petits du second ordre, 



Cette équation nous donne les i> en fonctions des u et des t, linéaires par 

 rapport aux u ; et l'on aura 



Les (p,_A sont des fonctions entières des t, d'une forme toute particulière; 

 car elles s'expriment rationnellement en fonctions : i° des /; 2° des racines 

 6,,62,...,6„ d'une équation de degré « en 6, dont le premier membre est 

 un polynôme entier par rapport à 9 et aux t; 3° et enfin des exponentielles 

 e^,e^ eV 



» Cela posé, je vais démontrer, en me bornant à indiquer la marche 

 générale et le principe de la démonstration, que e' e*^ est, quel que soit le 

 coefficient h, de la forme e^^. 



» En elïet, d'après ce que nous venons de voir, le théorème est vrai 

 pour h infiniment petit; je dis maintenant que, s'il est vrai pour h = h„, il 

 sera vrai aussi pour A ^ //„ + SA; car si l'on a 



on aura aussi, puisque SA est infiniment petit, 

 (i) e^»e«*^=e""-«^\ 



ou, à cause de l'associativité, 



gTg,^+5/„V^^w.^5w_ C.Q.F.D. 



Nous voyons en même temps, par l'équation (i), que les w, considérés 



