( io84 ) 

 n = I, le même résultat a été donné par Serret (' ) et par Dedekind (^). 

 )) S. Rantor ( ' ) a démontré que le nombre de groupes cycliques d'ordre N , 

 contenus dans une transformation birationnelle d'ordre a dans le plan, est 



j^ F(a, N). Il a donné la belle formule 



la somme étant étendue à tous les diviseurs rf> i de N. 



» Le nombre F(a, N) se trouve aussi dans les travaux de Picquet ( ' ) sur 

 les polygones curvilignes qui sont à la fois inscrits et circonscrits à une 

 cubique donner. 



» Il suit de ces résultais que le nombre F(a. N) est divisible par N pour 

 toutes les valeurs de a et N. Picquet a donné une preuve directe mais avec 

 une division en plusieurs cas. 



» La preuve de Ed. Lucas (') est plus simple. Je veux présenter deux 

 preuves nouvelles qui sont encore plus simples. Pour la première je pose, 

 pour fixer les idées, N^/^y"/'^. Nous avons ainsi 



F(a, N) = (a" - a') - ia'' - a") - (a'' - a!') 

 Chaque quantité entre parenthèses est de la forme 



rts 



a —a 



C . 



Elle est donc divisible par s" après le théorème de Fermât. Par la symétrie 

 de F(a, N), elle est aussi divisible par r? et r. 



» La seconde preuve se dérive immédiatement de la formule nouvelle 



F(a, ^N) = F(a,Ny-F(a, N) (mod^), 



g étant un nombre premier, et a et N des entiers quelconques. Il suit que 

 F(a, g-N) est divisible par g. Le théorème est donc démontré par une 

 induction simple. 



(') Mémoires de l'Académie des Sciences, i865. 

 (') Journal de Crelle', t. 5i, p. 1-26; iSSy. 

 (') Annali di Matemalica (2" série), t. X, p. 64-73. 

 (') Comptes rendus, i. XCVI, p. 11 36; i883. 

 (5) Comptes rendus, t. XCVI, p. i3oo; i883. 



