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stammenl nulle, celte équation admet une infinité de racines qui sont 

 toutes réelles et simples. Si p{x) ne change jamais de signe, on se 

 trouve dans le cas du théorème de M. Picard, et ces racines ont toutes le 

 signe de p(x). Dans le cas contraire, il y a une infinité de racines positives 

 et une infinité de racines négatives. En nous plaçant dans ce dernier cas, 



désignons par 



a, , «2, a,, . . ., 



les racines positives, rangées dans l'ordre croissant, et par 



Pm ^>, ?>„ ■■■, 



les racines négatives, rangées dans l'ordre décroissant. Les a, et les [i, 

 seront des fonctions continues de a et de b, tant que | 6 — a | surpasse une 

 certaine limite, plus petite que oj. Si, en fixant rt et en supposant ô ^ a, 

 on fait croître b indéfiniment, tous les a, et les p, décroîtront en valeurs 

 absolues et les nomhresa,, p, tendront vers certaines limites in lépendanles 

 de a. Ces limites seront toutes les deux nulles, si l'intégrale 



/ p (x) dx 



est égale à zéro. Dans le cas contraire, celui des deux nombres a,, p, qui 

 a le signe de celte inlcgrale tendra vers zéro, et l'autre vers une limite 

 différente de zéro ( nous supposons lo |> o). 

 » Pour fixer les idées, nous supposerons 



/ p(x) dx^^o; 



alors nous aurons 



limai^o, lim^|^p„, 



^0 étant un nombre négatif ou nul. 



» Maintenant, posons dans l'équation (3)Z; = rt-i-w. Les a, et les p, 

 deviendront des fonctions continues et, évidemment, périodiques de a à 

 période w. Chacune de ces fonctions sera d'ailleurs telle que tous ses 

 minima seront égaux entre eux et tous ses maxima aussi. Soient a', j3" les 

 minima de a,, p,- et a!'-, ^'- les maxima de ces deux fonctions. Dans certains 

 cas, «/ et p/ pourront se réduire à des constantes, de sorte qu'on pourra 



