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 avoir *', = a' ou Ei', -■ fi- . Mais, dans tous les cas, on aura 



On aura d'ailleurs toujours [i„ > ?>\ . 



M Cela posé, on peut démontrer que tous les termes des deux suites 



( O, a',. ot';, «1. a;, a;, a.;, ..., 



^^■' 1 ^. ?;. p;. Pi' p;. p;. p;. •••' 



dont la première est croissante, la seconde décroissante, sont des racines 

 de l'équation (i) et que, d'ailleurs, les termes a| , x-, ^'■, i^] à indice i impair 

 satisfont à l'équation A -i- i = o et tous les autres à celle-ci A — 1 = 0. Si, 

 parmi ces termes, il en existe qui vérifient des égalités de la forme 



x; = < , p: = p: . p„ - o, 



ce seront des racines doubles; les autres seront toujours des racines 

 simples. Les suites (4) contiennent d'ailleurs toutes les racines de l'équa- 

 tion (i), de sorte que cette équation n'admet point de racines imagi- 

 naires. 



» Supposons maintenant qu'on donne ;i a une valeur quelconque, dif- 

 férente des nombres (i). Alors, si cette valeur se trouve dans l'intervalle 

 (o, Pj) ou bien dans l'un de ceux (x- , x'.), (p), f-), on aura A'-* > f ; par 

 suite, toutes les relations de l'équation (2) autres que y = o, seront illi- 

 mitées. Si, au contraire, cette valeur se trouve dans l'un des int( rvalles 

 (o. x\), (>';, a;.^,), (lî„, fi',), (p;, ,y;.^,), on aura A"< i, et toutes les solu- 

 tions de l'équation (2) seront limitées. 



» Supposons enfin que u. soit égal à l'une des racines de l'équation (r). 

 Si c'est une racine double, différente de zéro, toutes les solutions de l'équa- 

 tion (2) vérifieront une équation de la forme 



0(.r-ho))=±9(.r), 



où l'on doit prendre celui des deux signes qui appartient à A. Si, au con- 

 traire, c'est une racine simple, il y aura deux solutions indépendantes 

 0,(a;), (i,(x), vérifiant les équations 



O,(j? + io) =àzH,(x), 

 O„ur-f-oj) = ±9i{x) -F- 9, (a?). 



