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» D'ailleurs, le cas de [j. = Po se distinguera par celte circonstance que 

 la ïoliilion ] ériodique 0,(a-) ne pourra s'annuler pour aucune valeur 

 de X. » 



AKALlSE MATKÉMATIQUE. —■ Noie sur le dcveloppemenl d'une fonction arbi- 

 traire en une sc'rie procédant suivant les fonctions harmoniques. Note de 

 M . S. Zaremba, présentée par AT. Poincaré. 



« Désignons par (D) un domaine limité par une surface fermée (S), 

 pouvant se com) oser de plusieurs nappes, mais admettant en chacun de 

 ses points des rajons de courbure principaux non inférieurs à une lon- 

 gueur fixe; par/(ir,y, z) une fonction donnée s'annulant sur la sur- 

 face (S) et admettant dans toute l'étendue du domjaine (D) des dérivées 

 secondes, el par u la fonction qui s'annule sur (S) et qui vérifie dans toute 

 l'étendue du dcniaine (D) l'équation aux dérivées partielles 



où ^ est un paramètre variable pouvant recevoir toutes les valeurs réelles 



el imaginaiies. J'ai dcmoniré, dans une Note insérée aux Comptes rendus le 



f 

 23 juillet 1898, que la fonction a a — '— pour valeur asymptotique lorsque 



le module de i croît indéfinimenl, l'argument conservant une valeur con- 

 stante, diflérenle d'un multiple de 27:. J'ai reconnu depuis que la méthode 

 d'intégration dont je me suis servi permettait, en la combinant avec celle 

 qui consiste à développer la fonction u suivant les puissances entières et 

 pc-ilives d'un accroissement de l, de trouver une limite supérieure du 

 module de la fonction ;/ pour toute valeur du paramètre pour laquelle 

 celte fonction n'est pas infinie. Cela m'a permis d'appliquer au problème 

 du développement de la fonction/(ir, j, ;), suivant les fonctions harmo- 

 niques relatives au domaine (D), la méthode de Cauchy sous la forme 

 donnée à cetie méthode par M. Poincaré au § XI de son beau Mémoire 

 Sur les équations de la Physique mathématique (Rendiconti del Circolo mate- 

 matico di Paleimo, 1894). Voici le résultat que j'ai obtenu : soient U,, 

 L'a» Uj, ... la ïuite des fonctions harmoniques relatives au domaine (D), 

 et k^, k.,, k., ... celle des nombres caractéristiques correspondants; ou 

 pouira trouver des constantes A,, A,,, A3, ... et une suite infinie de 



