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» Toute congruence conjuguée ou harmonique à un réseau B„ est A„_ , ou A„ . 



» Les éléments conjugués ou harmoniques fie moindre indice dépen- 

 dent d'une fonction arbitraire. 



» Pour établir ces résultats, il suffit de les vérifier pour les réseaux A, 

 et de suivre la transformation de Laplace. 



1) Il est naturel de chercher parmi les réseaux A;^ ou B„ ceux qui sont 

 formés par les lignes de courbure d'une surface. Voici les notations que 

 j'emploierai : Je désigne par u et v les paramètres des lignes de courbure, 

 par MT et MS les tangentes aux courbes c = const., u = const.; par T 

 et S les seconds foyers des congruences (MT) et (MS); par G la normale 

 en M à la surface, par F et cp les centres de courbures correspondant aux 

 courbes v = const., u = const. 



)) Supposons que le réseau M soit A„, la congruence G qui lui est paral- 

 lèle estaussi A„; mais le réseau M est conjugué à la congruence G, donc le 

 réseau M est B,j ou B„, , ; donc : 



» Si un réseau de lignes de courbures est d'un côté A„, il est de l'autre 

 côtéB^ ou B„^,,. 



» De même : 



» Si un réseau de lignes de courbures est d'un côté B„, il est de l'autre 

 côté A„_, ou A„. 



» Nous avons donc les réseaux particuliers suivants : 



Réseaux A, et Bj (surfaces développables). 



Réseaux Aj et Bj (surfaces de Monge). 



Réseaux A, et B, (lignes de courbures planes dans un système), etc. 



» Tous ces réseaux peuvent se former d'une façon explicite en suivant 

 la méthode indiquée par M. Darboux (Leçons, IV^ Partie; Chap. VIII, IX 

 et XI). 



» Prenons en particulier les réseaux qui sontA^ du côté de MT. Il v 

 aura une infinité de réseaux parallèles pour lesquels la surface (T) se 

 réduit à une courbe. Les lignes de courbure u = const. seront des cercles 

 géodésiques. Elles seront situées sur les sphères qui ont pour centre T 

 et pour rayon TM, sphères qui coupent la surface à angle droit. C'est le 

 cas étudié par M. Bonnet (Journal de l' Ecole Polytechnique, t. XX). 



» La congruence MT sera Bj ; il en est de même du réseau F qui lui est 

 parallèle; donc sur la surface F les courbes u = const. sont planes (théo- 

 rème de M. Bonnet). 



» Il est facile d'établir la réciproque; si les conjuguées d'un système de 



