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analyliquement la branche FC(a;) en dehors deC, et de définir la fonc- 

 tion ¥(x), uniforme ou non dans tout un domaine d'existence. Le problème 

 que nous nous posons consiste à former, à l'aide des éléments (i), un dé- 

 veloppement qui représente la branche uniforme F C (ce) prolongée en dehors 

 de C, dans le domaine le plus étendu possible. 



» Il importe, avant tout, de préciser la branche de F(a;) qu'on étudie en 

 dehors de C. Pour y arriver, nous faisons tourner une fois autour de a une 

 demi-droite rf, nous fixons sur chaque demi-droite un point a^ («^ pourra 

 être à l'infini) dont la distance à a sera plus grande qu'une quantité 

 positive donnée, la même pour tous les d, et nous excluons de d la partie 

 de la demi-droite qui s'étend de a^ à l'infini. Nous donnerons le nom d'étoile 

 au domaine qui reste après qu'on a exécuté dans le plan des x toutes ces 

 coupures. Les points a,; seront appelés les sommets de l'étoile et nous dirons 

 qu'une étoile est inscrite dans une autre qui lui est circonscrite si tous les 

 points de la première étoile appartiennent à la seconde et si les deux étoiles 

 ont des sommets communs. On voit que l'étoile est un continuum formé 

 d'une seule pièce et à connexion simple. 



» Soit maintenant K une étoile circonscrite à C et telle que la branche 

 fonctionnelle FC(a:-) soit prolongeable analytiquement, d'une façon régu- 

 lière, le long de toute demi-droite issue de a et intérieure à R. La branche 

 uniforme de fonction définie sans ambiguïté dans K par le prolongement 

 analytique de FC(.r) sera désignée par FK(a;). L'étoile K recevra sa plus 

 grande extension possible si l'on choisit poura^ le premier point de rf au 

 delà duquel le prolongement est impossible régulièrement. Nous désigne- 

 rons cette étoile par la lettre A (première lettre du mot grec a^Top). 

 L'étoile A et la branche fonctionnelle FA (ic), ainsi que la fonction ¥(x) 

 dans sa totalité, étant définies d'une manière univoque quand les élé- 

 ments (i) sont une fois fixés, nous dirons que A est l'étoile, que FA (a?) est 

 la branche fonctionnelle uniforme et régulière et que F (ce) est la fonction qui 

 appartient aux éléments (i). Ces définitions admises, le problème que nous 

 avons posé est résolu par les trois théorèmes suivants : 



» Théorème L — Désignons par kl' étoile et parYk (x) la branche fonction- 

 nelle appartenant aux éléments ¥ (a), Fi"(a), F<^'(a), ..., et soitX un domaine 

 fini quelconque à l'intérieur de k et a une quantité positive aussi petite que ion 

 voudra. Il est toujours possible de trouver un nombre entier n tel, que ta diffé- 

 rence entre FA {x) et le polynôme 



■gn{oo) = ^Cf^^Ha){x-a)\ 



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C. R.. 1899, i" Semestre. (T. CXXVUI, N" 20.) 



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