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soil, dès que n surpasse n, inférieure à r: en valeur absolue, pour toutes les 

 valeurs de x appartenant au domaine X. 



» Les coefficients é"' peuvent être choisis une fois pour toutes et sont abso- 

 lument indépendants de a, de F(a), F'"(a), F'°'(a), ... et de .r. 



» On peut choisir les coefficients c!"' d'un nombre indéfini de manières 

 différentes qui répondent toutes à des conditions spéciales. Une forme très 

 simple, au point de vue formel, du polynôme ^,,(a^) est la suivante : 



i ),,+),+...+>„ 



.(-) = i: i;-! î;Tïrr:3j>"''"—""'W(i^) 



» Théorème II. — Désignons par l^ V étoile et parFA{x) la branche fonc- 

 tionnelle appartenant aux éléments F(a), F'''(a), F'-'(rt), .... 



» Cette branche FA (^x) pourra toujours être représentée par une série 



|J, = 



où les G^(^x) sont des polynômes de la forme 



G,(^) = 2KrF«(a)(a. a)\ 



IV) 



chaque coefficient R^'^' étant un nombre déterminé qui peut, être choisi rationnel 

 et qui ne dépend que de v et de y.. 



» La série ^ G|j.(a) est convergente pour chaque valeur de x à l'intérieur 



[X — 



de A et elle est uniformément convergente pour chaque domaine à f intérieur 

 de A . On aura partout à l'intérieur de A 



'^G^,{x)=\img„{a), 



où gn{^) désigne le même polynôme que dans le théorème l. 



» Théorème III. — Désignons par A une étoile de centre a et par A'^' une 

 étoile conjointe concenli-iquc à k et inscrite dans A qui soit définie par rapport 

 à A d'une manière convenable. Cette étoile A'^' doit être telle qu'elle devienne 

 un cercle pour t =^ i et quelle renferme dans son intérieur tout domaine 

 situé à V intérieur de A, dés que la quantité t est suffisamment petite. 



» Supposons que A soit l'étoile appartenant aux éléments F (a), F"'(a), 



