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F'-'(rt) et écrivons la série 



' -H A'i"(!5) F<-)(a) {x - a)^ + . . . +-■ /ii^'(!5) FW(a) (x - a)' 1- 

 » On peut fixer les coefficients 



KHI) (.a = i,2, ...a) 



• 1"^ '' (). =1,2, ...,co) 



a priori et indépendamment de a, de F(«), F'''(a), Ff-'((7), . . ., et de x, de 

 sorte que la série possède les propriétés suivantes : elle est convergente pour 

 chaque point à l'intérieur de A'*^' et elle est uniformément convergente pour 

 chaque domaine intérieur à A.'^'^K Si la convergence a lieu pour un point donné, 

 ce point appartient nécessairement à l'intérieur de A'^' ou est Un sommet 

 de A'^^ Pour }i = i la série devient la série de Taylor. 



» L'égalité 



FA(.T) = Ps(^|a) 



a lieu partout à l'intérieur de A'^'. 



» La définition de A'"^' par rapport à A peut se faire d'une infinité de 

 manières différentes dont chacune répond à des conditions spéciales ('). 

 On peut étendre les trois théorèmes énoncés à un nombre quelconque de 

 variables indépendantes. 



» On voit que le problème que j'ai résolu est essentiellement distinct 

 du problème de la représentation des fonctions uniformes dont je me suis 

 occupé jadis et dont se sont aussi occupés M. Runge et M. Painlevé à un 

 point de vue tout autre que le mien. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le calcul des formules contenant 

 des fonctions arbitraires. Note de M. Jdles Beudon, présentée par M. Picard . 



a On rencontre souvent, comme résultat de l'intégration d'équations aux 

 dérivées partielles, des quadratures dont l'élément différentiel contient une 

 fonction arbitraire et ses dérivées. On n'a pas donné, à ma connaissance, 



(') La théorie des séries sommables de M. Borel fournit une représentation de la 

 branche FA(^) dans une étoile K circonscrite à C et inscrite dans A, mais cette étoile 

 ne peut pas, comme A'**', être approchée de A autant qu'on le veut. 



