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nombre premier, sont liées entre elles de sorte que l'une de ces racines puisse être 

 exprimée rationnellement au moyen des deux, autres, l'équation dont il s'agit sera 

 toujours résoluble à l'aide de radicaux. 



» Cet énoncé diffère de celui de M. Galois, en ce que le géomètre nor- 

 végien ne dit pas que la condition dont il s'agit soit nécessaire, mais seule- 

 ment qu'elle suffit poiu- que l'équation soit résoluble; et il ne semble pas 

 qu'il la regardât comme indispensable; car on trouve dans les notes citées 

 une autre proposition relative à la résolution d'une classe nombreuse 

 d'équations qtii pourraient bien ne pas remplir cette condition. Il ne 

 parait pas non plus que ce soit à cette proposition qu'il ait fait allusion 

 dans ce passage d'une lettre écrite à M. Legendre et publiée après la mort 

 d'Abel dans le Journal de M. Crelle ( ' ). 



« J'ai été assez heureux, dit-il, de trouver une règle sûre à l'aide de laquelle on 

 pourra reconnaître si une équation quelconque proposée est résoluble ou non à l'aide 

 de radicaux. Un corollaire de ma théorie fait voir que généralement il est impossible 

 de résoudre les équations supérieures au quatrième degré (-). 



» Nous ignorons si Abel a laissé un manuscrit de cette théorie : elle n'a 

 point encore été imprimée, non plus que la démonstration du théorème 

 analogue à celui qui fait l'objet de ce rapport et qui appartiendrait entiè- 

 rement à M. Galois, s'il parvenait à l'établir d'une manière satisfaisante. 

 Toutefois on doit remarquer qu'il ne renferme pas, comme le litre du Mé- 

 moire le promettait, la condition de résolubilité des équations par radi- 

 caux; car, en admettant comme vraie la proposition de M. Galois, on n'en 

 serait guère plus avancé pour savoir si une équation donnée dont le degré 

 est un nombre premier est résoluble ou non par des radicaux, puisqu'il 

 faudrait d'abord s'assurer si cette équation est irréductible, et ensuite si 

 l'une de ces racines peut s'exprimer en fonction rationnelle de deux autres. 

 La condition de résolubilité, si elle existe, devrait être un caractère exté- 

 rieur que l'on put vérifier à l'inspection des coefficients d'une équation 

 donnée, ou tout au plus, en résolvant d'autres équations d'un degré moins 

 élevé que celui de la proposée. 



» Quoi qu'il en soit, nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la 

 démonstration de M. Galois. Ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni 



(>) T. YI, p. 80. 



(~) Cette lettre est datée de Christiania le 25 novembre iSaS. Abel est mort près de 

 celte ville le 6 avril suivant. 



