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et (7), X, Y, Z par leurs expressions déduites des formules (3); on aura 

 ainsi les deux équations qui feront connaître >. et [>.. 



» Supposons maintenant que (Q) se déforme en (0) et qu'elle entraîne 

 dans ses pians tangents toutes les courbes (C). Dans leurs nouvelles posi- 

 tions, celles-ci engendreront une congruence de courbes. La formule (5) 

 fera connaître l'élément linéaire de l'espace exprimé à l'aide des trois varia- 

 bles a, u, c. 



» Admettons que l'on ait choisi les variables u et ç de telle manière que 

 les déterminants D', D', soient tous deux nuls; ce qui suppose que l'on ait 

 pris pour u et c les paramètres des deux familles de courbes qui sont con- 

 juguées à la fois sur les surfaces (Q) et (0). Le terme en dudi> disparaîtra 

 de l'équation (5) et l'on aura pour rfS, une expression de la forme 



dS] = ll doi- -h R du- + L di'-. 



» Cette formule met en évidence l'existence d'un système triple ortho- 

 gonal formé des trajectoires orthogonales des courbes (C) et de deux autres 

 familles engendrées par les positions des courbes (C) qui correspondent 

 à une valeur donnée de u ou de Ç'. Ce système triple est le plus général 

 parmi ceux pour lesquels deux des trois familles de surfaces se coupent 

 mutuellement suivant des courbes planes. (Leçons, n"^ 762, 971, 1060.) 



» Supposons maintenant que (Q) soit une surface gauche et que le 

 point P soit assujetti à décrire une des lignes de longueur nulle de cette 

 surface. On aura ici, en supposant que les génératrices rectilignes de la 

 surface soient les lignes de paramètre v, 



D = o, [1. — o, dS = o. 



)) La formule (5) se réduira donc à la suivante : 



dS', --= ^ (D rf«^ + 2 D' du dv + D" f/(-). 



On est ainsi conduit au théorème suivant : 



» Si une. surface réglée (Q) roule sur une surface applicable (0), les points 

 où les différentes lignes de longueur nulle de (Q) rencontrent le plan de con- 

 tact de (&) et de (Q), points qui sont tous situés sur la génératrice rectiligne 

 de (Q) contenue dans le plan de contact, décrivent des surfaces qui se corres- 

 pondent avec similitude des éléments infiniment petits, leurs lignes de longueur 

 nulle correspondent aux lignes asymptotiques de (q). 



)) Si nous revenons en particulier au cas où la surface (Q) est une qua- 



C. R., 1899, I" Semestre. (T. CXXVIII, N» 21.) l65 



