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» La propriété énoncée appartient aux deux surfaces (M) et (M') que 

 j'ai associées à la déformation du paraboloïde (Annales de l'Ecole Normale, 

 1897). Si l'on fait correspondre ces deux surfaces point par point, de façon 

 que les normales en deux points correspondants soient dans un même plan 

 passant par O, on peut obtenir facilement l'une des surfaces lorsqu'on 

 connaît l'autre en appliquant les théorèmes suivants : 



M Le centre de la sphère (S), tangente à l'une des surfaces en unpoint M, 

 se troui'e sur la droite qui joint le point O au point correspondant M' de Vautre 

 surface. 



» Le carré de la distance de deux points correspondants M et M' est pro- 

 vortionnel au produit des puissances de ces deux points par rapport à une 

 sphère fixe de centre O. 



» On peut encore ajouter une remarque : 



M fxs dèveloppables de la congiiience formée par les droites qui joignent les 

 points correspondants M et M' coupent les deux surfaces (}IV) et (M') suivant 

 leurs lignes de courbure, et les deux points M et M' sont conjugués harmoniques 

 par rapport aux points focaux de M M'. 



» Revenons à la relation (i) et supposons que a soit nul, le paraboloïde 

 correspondant est équilatère; les sphères {S) sont alors orthogonales à 

 une sphère fixe et les deux nappes de leur enveloppe sont isolhermiques. 

 En faisant une inversion par rapport à un point quelconque de la sphère 

 fixe on obtient le théorème suivant, dont la première partie résulle immé- 

 diatement d'une proposition de M. Rœnigs (') : 



» Si le lieu du conjugué harmonique de chaque point d'une surface par 

 rapport aux deux centres de courbure correspondants est un plan P, la surface 

 est isothermique. La recherche des surfaces ainsi définies est un problème équi- 

 valent à la déformation du paraboloïde équdatère. 



» Les surfaces miniraa peuvent être considérées comme un cas limite 

 de ces surfaces lorsque le plan P s'éloigne indéfiniment. 



» Si b est nul, l'é'^uation (i) représente les inverses des surfaces à 

 courbure moyenne constante. 



» En remplaçant enfin, dans la ralalioa (1), b par ^ on obtient les 



surfaces isothermiques (I) que j'ai entièrement déterminées (/oc. cit.); 

 elles correspondent à la déformation du paraboloïde qui a un plan direc- 

 teur isotrope. 



(') KoENiGS, Sur les systèmes conjugués à invariants égaux {Comptes rendus; 

 1891). 



