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et que j'ai étudié en détail dans un cours professé au Collège de France 



(1896-1897)0. 



» Soient z une variable complexe, F(s) une branche de fonction analy- 

 tique de z, holomorphe pour ^ ^ o; soit œ une valeur réelle positive de z, 

 et soit a le premier point de l'axe réel positif au delà duquel F (s) ne soit 

 pas prolongeable régulièrement le long de Ox; n peut être à l'infini. Une 

 des propositions que j'ai établies s'énonce ainsi : 



» La/onction F (x) est développable entre o et a en une série de polynômes : 



(.) F(^) = 2P«(^)=^2[F(°)nr + F'(o)n:;'-f... + F;;;;nr], . 



OÙ les ïl\{' sont de polynômes en œ de degré j, à coefficients numériques 

 (les mêmes quelle que soit la fonction F et quel que soit a). La série (t) 

 converge uniformément dans tout intervalle o'Sx^b<^a. 



)) La détermination des polynômes n^/'(^) est d'ailleurs possible d'une 

 infinité de façons. Il est loisible de les choisir tels que leurs coefficients 

 soient tous des nombres rationnels. 



» La proposition est une conséquence presque intuitive des théorèmes 

 que j'ai démontrés dans ma thèse sur le développement des fonctions holo- 

 morphes dans une aire convexe. Il suffit de considérer une suite d'aires 

 convexes entourant l'origine et qui, en s'aplatissant et s'allongeant sur 

 l'axe réel positif, tendent à se réduire à cette demi-droite. 



» La série (i) converge pour x réel et compris entre o et a, mais elle 

 diverge pour les autres valeurs de la variable, et notamment pour toutes les 

 valeurs imaginaires. Au contraire, les développements de M. Mittag-Leffler 

 convergent dans tout le plan sauf sur des demi-droites exceptionnelles. 



» Il semble donc qu'il y ait un abîme entre les deux modes de dévelop- 

 pement. Il n'en est rien. Pour passer du développement (i) que je viens d'in- 

 diquer à un développement de M. Mittag-Leffler, il suffit, dans les termes de la 

 série (1), de remplacer les F'-"(o) par zJ F'-"(o) et défaire x ~ i. 



» Posons, en effet, F(zx) ::z^(pÇx) en regardant z comme un paramètre, 

 X comme une variable, et appliquons à la fonction ^(x) le développe- 

 ment (i). Si A désigne Vétoile altachée aux éléments F(o), F'(o), . . . , et 

 F(z) la branche fonctionnelle holomorphe dans A, la fonction 4>(a-') est 

 holomorphe pour o<a;<i du moment que s est intérieur à A, et elle est 



(') Voir aussi les Comptes rendus du 18 janvier 1898. 



