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 égale à F(;) pour x —- i. Soit donc cj^/' la valeur de n;/'(-^) P""'' x — ^ . fM 

 série 



(,.) iQ„(2)^2[F(o)<'+r.F'(«)<"+----l-^"f""(o)<1 



converge et représente F(:;) dans toute l'étoile A. Elle converge uniformé- 

 ment dans toute aire B entièrement intérieure à A. 



» Mais la démonstration même met en éviiienee une généralisation du 

 théorème de M. Mittag-Leffler. Soit L, un arc de courbe analytique donné 

 qui va du point - = o au point :■ — \ , et qui est régulier en chaque point. 

 Effectuons sur L, une transformation homothétique de centre O et faisons 

 tourner l'arc de courbe ainsi obtenu d'un angle quelconque autour de 

 l'origine. Parmi toutes les courbes L ainsi obtenues, il en est une (et une 

 seule) qui a comme extrémité le point donné z^ ; je désigne par L.. cet arc 

 de courbe. Prolongeons F(3) à partir de l'origine sur le chemin L. : si le 

 prolongement est possible régulièrement jusqu'en ;:o inclusivement, j'ap- 

 pelle Fl(:;o) I3 valeur de F ainsi définie en :;„ ; sinon, j'exclus le point ^„ du 

 plan des z; le domaine restant A, sera dit V étoile curviligne d'espèce L atta- 

 chée aux éléments F(o), F'(o), Les points exceptionnels s„ sont distri- 

 bués sur des courbes qui se déduisent de L, (ou d'une portion de L, ) par 



la transformation -'=7' a désignant un quelconque des points singuliers 



qu'on rencontre en prolongeant F(^) le long d'un arc L. 



» Ceci posé, un point z de L, peut toujours être défini par une fonc- 

 tion g{x) + ih(x)^^ij{x), où X est un paramètre réel qui varie de o à i 

 quand :; va du point s = o au point z = i sur L, ; 1]/ est une fonction holo- 

 niorphe de a; pour o<ic<i. Appliquons à la fonction $(ic):^ F [s ij;(a;)] le 

 développement (i) ; en faisant x = i et en posant 



/' = F(o), 

 /,(')= -F'(o)A'(o), 



■7=/ 



on voit que /a série f 



converge et représente Fi^(z) dans toute l'étoile curviligne Al. 



» Une généralisation bien plus étendue s'obtient en considérant la fonc- 



