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tion <ï>(a;)^F[«'(::, xj], où «r est une fonction analytique de s etdea?, qui 

 s'annule avec x et coïncide avec z pour a; = i . Enfin, les énoncés et dé- 

 monstrations qui précèdent s'étendent aussitôt aux fonctions de plusieurs 

 variables, soit F(5, u, v), en développant <t(x') ^^Y(z-x, ux, i'x), etc. 



» Le principe qui nous a servi dans cette démonstration peut recevoir 

 la forme suivante : Soil iw„(a7) un développement, où u^ est un polynôme en 

 F(o), F'(o), . . ., F'"'(o), dont les coefficients sont des fonctions données de x. 

 Admettons que ^quelle que soit la fonction F (a;) holomorphe à l'origine] la 

 série converge pour o'Sx^ h, siY(^x') est holomorphe pour ces valeurs (^réelles 

 et positives) de x. Pour déduire de cette série un développement représentant 

 F (s) dans toute l'étoile A, // suffit de remplacer x par i et F'-''(o) par 

 zJY^Ji(p). Pour que le domaine de convergence soit A^, il suffit de remplacer x 

 par I et F'-'' (o) par p'J^ (z). 



» En particulier, considérons une courbe analytique régulière fermée C 

 entourant le segment réel o i et passant par i , et soit x = x(0 ^^ fonction 



qui représente l'aire (du plan des x) intérieure à cette courbe sur un 

 cercle F, de façon qu'à x =^ o corresponde le centre ^ = o de T et à a? = i 

 le point C — I . Développons la fonction G('C)^F[s/(^)] en série de Mac- 

 Laurin. 



» Les termes de cette série sont linéaires et homogènes en z^ ¥'■■''> (o), et pour 

 C = I la série converge et représente F(r-) si le point z fait partie de l'aire B 

 intérieure à toutes les courbes C; une cotu'be C est une courbe tiansformée 



de C par la transformation ^= -> a étant un sommet quelconque de 



j.- 



l'étoile A. La série diverge en deliors de B. 



» Soit maintenant C,, .... C^, ..., une suite de courbes C qui tendent à 

 se réduire au segment o i; les domaines B,, ..., B^, ... tendent vers A. 



A chacun de ces domaines B^ correspond un développement convergent 

 dans By, divergent au dehors ; et de ces développements on déduit aussitôt 

 un développement analogue convergent dans toute l'aire A. 



» Ce sont là les résultats complets de M. Mittag-Leffler. Ils s'étendent 

 aiissitôt aux étoiles curvilignes Af^. On voit qu'Us se trouvent rattachés ainsi 

 à cette remarque bien intuitive : Si l'on développe la fonction G(£^) ee^ 1"[-}c(0] 

 [oùj(^(o) = o] en série de Mac-Laurin, les termes du développement sont li- 

 néaires et homogènes en zJ F'-" (o), et pour une valeur numérique de 'C, la série 

 cjnverge dans un domaine du plan des z qu'on sait d( finir exactement. » 



