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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Suf le calcul des séries de Taylorà rayon 

 de convergence nul. Note de M. Emile Bop.el, présentée par M. Picard. 



« Dans le dernier numéro des Comptes rendus, M. Mittag-Leffler a fait 

 connaître d'importants résultats, relatifs au calcul des séries de Taylor en 

 dehors de leur cercle de convergence. J'ai indiqué ailleurs (') comment 

 K-s théorèmes I et II de M. Mittag-Leffler peuvent, par une méthode dont 

 j'avais donné le principe dans mon Mémoire couronné ('), se déduire des 

 résultats de MM. Runge, Hilbert et Painlevé, sur la représentation des 

 fonctions uniformes. Je ne reviendrai pas sur ce point, ni sur l'application 

 de la méthode à l'extension de la notion de fonction analytique, me réser- 

 vant d'y consacrer un Mémoire plus étendu (*); je voudrais simplement 

 indiquer ici quel parti on peut tirer des séries de M. Mittag-Leffler et des 

 séries analogues, pour l'étude des développements de Taylor à rayon de 

 convergence nul. 



» Relativement à un tel développement, que j'écris sous la forme 



(i) a^-^a,: 



a,z- 



1 .2 



Cil peut se poser le problème suivant : Existe-t-il une fonction analy- 

 tique f(^z), admettant le point z ^^ o comme point singulier et telle que, 

 lorsque z tend vers zéro, au moins sur. certains chemins, f^"^(^z^ tende 

 vers a„ C). Supposons d'abord, pour fixer les idées, que le développe- 

 ment (i) puisse se déduire formellement de la série 



(^^) 2jTt' 



les nomhve?, positifs a ^ tendant vers zéro et les numérateurs A„ étant assez 

 petits (*). On a ainsi 



(3) «,=.(■- i)V! 2 A„a7-'. 



(') Addition au Mémoire sur les séries divergentes {Annales de l'Ecole Nor- 

 male, 1899). 



(^) Mémoire sur les séries divergentes {Annales de l'Ecole Normale, 1S99). 



(^) Ce Mémoire paraîtra dans les Acta niathematica. 



(*) Il n'y a pas lieu de répéter ici les remarques générales que j'ai faites sur ce 

 problème dans mon Mémoire couronné. 



(*) Pour la signification précise de ceHerme, voir l'Addition citée plus haut, p. i34; 

 une légère modification serait nécessaire parce que les a„ tendent ici vers zéro. 



