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» On voit aisément que si les A„ sont assez petits, et si l'on applique à la 

 série (i) la transformation de M. Mittag-Leffler, ou une transformation 

 analogue, la série de polynômes obtenue converge dans tout le plan sauf pour 

 les valeurs réelles négatives de z et représente la même fonction analytique que 

 la série (2). 



» Il est dès lors naturel, étant donnée a priori une série toujours diver- 

 gente (i), de rechercher quel résultat on obtient en la transformant en 

 série de polynômes. Il y aura d'ailleurs lieu de varier le mode de transfor- 

 mation, de manière à pouvoir sommer des séries divergentes de plus en 

 plus nombreuses; mais il importe de remarquer que, quel que soit le mode 

 choisi, certaines séries (i) y échapperont, parce qu'elles seront trop diver- 

 gentes. Il n'est même pas possible d'indiquer une infinité dénombrable de 

 modes de sommation, tels que chaque série puisse être sommée par l'un 

 d'eux. Ce point résulte immédiatement des recherches de du Bois-Reyniond 

 sur les fonctions croissantes, mais ce n'est pas là la source d'une difficulté 

 sérieuse. On est seulement conduit à limiter le mode de divergence des 

 séries que l'on considère; cette restriction purement théorique ne gênera 

 pas dans la pratique. 



» Une difficulté plus importante est la suivante : étant donné un mode 

 de sommation, faisant correspondre à une série telle que (i) une série de 

 polynômes (ou une expression analytique d'une autre nature) absolument 

 convergente dans un certain domaine ('), et par suite une certaine fonction 

 analytique, peut-on affirmer qu'au produit de deux séries correspond le 

 produit des deux fonctions analytiques correspondantes (-)? Il semble à peu 

 près impossible de répondre à cette question d'une manière tout à fait 

 générale, c'est-à-dire sans préciser le mode de sommation que l'on em- 

 ploie. J'ai pu la résoudre par l'affirmative pour les méthodes que j'ai étu- 

 diées dans mon Mémoire couronné (méthode de sommation exponentielle 

 et méthode de Stieltjes généralisée); il paraît bien vraisemblable qu'il en 

 est de même, dans des cas étendus, pour la méthode de M. Mittag-Leffler 

 et aussi pour les autres méthodes que nous avons mentionnées ('); mais 

 c'est là un point sur lequel je reviendrai après la publication intégrale 

 des Mémoires de M. Mittag-Leffler. 



(') Le point ^ := o étant un point frontière de ce domaine. 



("^) Il n'y a pas de difficullé pour la somme, car les procédés employés sont toujours 

 distribulifs (voir toc. cit.). 



(') Il est bien clair qu'il en est ainsi dans le cas où les séries sommables (i) sont 

 déduites de séries telles que (2). 



