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j'ai rencontré quelques propositions générales qu'il me parait utile de 

 signaler. 



» D'abord la correspondance entre les surfaces (i,), (i,) a lieu, nous 

 l'avons remarqué, à la fois avec similitude des éléments infiniment petits 

 et parallélisme des plans tangents. L'étude des cas dans lesquels ces deux 

 propriétés se trouvent réunies a été faite par M. ChristofFel; je n'y revien- 

 drai donc pas. Mais la correspondance entre les surfaces (2,), (2^) sou- 

 lève un problème intéressant. Ces deux surfaces, qui sont normales à un 

 même cercle, peuvent être considérées comme les deux nappes de l'enve- 

 loppe d'une sphère dépendant de deux paramétres. Nous sommes donc 

 conduits à nous proposer la question suivante : 



)) Dans quel cas une sphère qui dépend de deux paramètres enveloppe-l-elle 

 une surface dont les deux nappes se correspondent avec similitude des éléments 

 infiniment petits ? 



» On connaît une solution très générale de ce problème. Si la sphère 

 est orthogonale à une sphère fixe, les deux nappes de son enveloppe sont 

 inverses l'une de l'autre par rapport au centre de la sphère fixe et, par 

 suite, se correspondent avec similitude des éléments infiniment petits. La 

 correspondance entre les surfaces (2,), (2'^^) nous fournit encore une autre 

 solution du problème. Il y a donc intérêt, s'il est possible, à le résoudre 

 complètement. 



» Soient donc M, M' les deux points oh une sphère variable (S) touche 

 son enveloppe. La corde de contact MM' engendre une congruence; les 

 développables de cette congruence découpent, sur les deux nappes de 

 l'enveloppe, des courbes dout les tangentes se rencontrent toujours. Si A 

 et B sont les points de concours de ces tangentes, les directions AM et AM', 

 BM et BM' se correspondent sur les deux nappes. Comme d'ailleurs ces 

 directions sont placées symétriquement par rapport au plan tangent de la 

 surface décrite par le centre de la sphère (S), il faudra que les deux 

 angles AMB, AM'B soient égaux. 



» Supposons d'abord que la valeur commune de ces angles soit diffé- 

 rente de l'angle droit ; alors, pour qu'il y ait similitude des éléments infini- 

 ment petits, il faudra que la tangente en M à toute courbe tracée sur la 

 nappe (M) décrite par M et la tangente en M' à la courbe correspondante 

 tracée sur la nappe (M') décrite par M' fassent des angles égaux respecti- 

 vement avec MA et M'A et aussi avec MB et M'B. Donc ces deux tangentes 

 se rencontreront toujours en un point, d'ailleurs variable, de la droite AB. 

 Dès lors, quel que soit le déplacement de la sphère, la corde de con- 



