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 [M. BiANCHi, Sopra alcune nuove classi di superficie (Annali di Malhemalica, 

 t. XVIII; i855-i856).] 



» Si n = o, la surface M est une surface de Monge; ce cas n'offre aucun 

 intérêt, le réseau F est tracé sur une développable. 



» Si /i = I , le point F décrit une surface de Voss. J'ai étudié ce cas dans 

 mon Mémoire Sur les surfaces à courbure totale constante, etc. (Annales de 

 l'École Normale ; 1 890 ) . 



» Prenons le cas général, on peut supposer n ^ u. En prenant comme 

 inconnue b, l'équation (i) donne 



(3) T" Â :ï — T-) -h b— -\- u = o. 



^ ' di'\b ou oi'J au 



C'est celte équation du troisième ordre qui permet d'obtenir la représen- 

 tation sphérique des surfaces (M). 



» L'équation (2) est à invariants égaux; si on la ramène à la forme ca- 

 nonique de M. Moutard, elle admettra trois solutions dont la somme des 

 carrés est une fonction de u. Il en résulte que la congruence (MT) (ou le 

 réseau F) est plusieurs fois cyclique. Donc : 



» 5/ un réseau G est C, il est C d'une infinité de manières. 



» Il est facile d'en déduire des propriétés des surfaces M. Soit F' un 

 réseau applicable sur le réseau F; F' contiendra aussi un système de géo- 

 désiques; prenons sur la tangente à lagéodésique une longueur F'M'= FM. 

 Le point M' décrira une surface rapportée à ses lignes de courbure. Pour 

 cette surface (M') on aura 



» On en déduit immédiatement les résultats suivants : 



» .4 chaque sur/ace (M) on peut faire correspondre une infinité de sur- 

 faces (M') telles que : 



» 1° Les rayons de courbures correspondants sont égaux; 



» 2° Les lignes de courbure u = const. ont même longueur; 



» 3° Les lignes de courbure v = const. ont même rayon de courbure aux 

 points correspondants. 



» La congruence (MT) étant plusieurs fois C, il y aura 00^ réseaux 

 qui lui seront harmoniques; soit [a l'un de ces réseaux; la tangente jxM 

 à ce réseau est 2O. Réciproquement, si [a décrit un réseau O, dont une 



