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d'une variable réelle dans un inlervalle pouvait être développée en une 

 série de polynômes dont les coefficients dépendent linéairement des 

 valeurs de la fonction et de ses dérivées pour t = t^. Ce résultat, dont 

 l'application aux équations différentielles est immédiate, a été déduit par 

 M. Painlevé des développements en séries de polynômes qu'il avait précé- 

 demment obtenus jiour les fonctions holomorphes dans une aire convexe; 

 les travaux récents de M. Mittag-Leffler et ceux de M. Borel permettent de 

 le retrouver d'une autre manière. 



» 2. Je me propose de montrer que des développements analogues aux 

 précédents peuvent être obtenus parla simple application de la méthode 

 élémentaire employée par Cauchy pour démontrer l'existence des inté- 

 grales des équations différentielles, méthode dont l'idée essentielle con- 

 siste à remplacer celles-ci par une succession d'équations aux différences. 

 Il suffira ici de prendre une seule équation ; soit donc l'équation 



où nous sup])osons (') que la fonction /et ses dérivées -y- et -r-^ soient 



continues pour les valeurs de a; et t. correspondant à l'intégrale qui prend 

 pour t^^t^ la valeur ^\, cette intégrale étant supposée continue dans un 

 certain intervalle. Il est facile d'obtenir un développement de l'intégrale 

 qui converge tant que l'intégrale restera continue dans les conditions indiquées. 

 Supposons l'intégrale continue de t^ à a (a supérieur à /„). Soit t com- 

 pris entre /„ et a; nous partagerons l'intervalle de /,, à / en n parties égales, 

 de manière à avoir les intervalles ^„, /,. . ., ^„_, , et nous formons les équa- 

 tions successives 





)) Nous obtiendrons pour .r„ une fonction 9„(^o, /); il estaisé de montrer 



(') On pourrait faire des hypothèses un peu plus larges, mais cela est inutile pour 

 les applications. 



