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que, dans l'intervalle de ^o à a'(a'<^ a), cette fonction représente l'inté- 

 grale cherchée avec une approximation inférieure à un nombre donné e, 

 si n est assez grand. Par un raisonnement bien connu, on en conclut 

 alors que l'intégrale x peut être représentée par une série 



p, (j;-o, +- • • • -^- l^,(-J?o. + • • • • 



» Ce développement est convergent de ?„ à a et uniformément conver- 

 gent dans l'intervalle (/„, a.'). Il résulte de là que la méthode de Cauchy 

 (reprise par M. Lipschitz) est supérieure à toutes les autres méthodes 

 proposées pour le même objet. La méthode d'approximation par quadra- 

 tures successives, dont j'ai souvent fait usage, ne donne pas, en général, 

 l'intégrale dans tout le champ où celle-ci est continue ('). 



)) 3. Prenons en particulier le cas des équations 



(i) — ^%i{œ,,x,,...,x„) (i — \,'2,...,n), 



où les X sont des polynômes; on voit, d'après ce qui précède, que les x 

 pourront être représentés par des séries de la forme 



. (2) p.«.a.» ^;;.o-:-... ;-p„«.^^ r:,o+--. 



où les P sont des polynômes en l et en x\, a-", . . ., x\. Ces développements 



seront convergents tant que les intégrales x, correspondant aux conditions 



initiales x\, x\, . . . , a;" (pour ï = t^, seront des fonctions continues du temps. 



» 4. Nous nous sommes borné à considérer les éléments réels. Avec peu 



(') Je profile de roccasion pour remarquer que celte dernière méthode ne coïncide 

 nullemenl, comme on l'a cru quelquefois, avec un autre procédé d'intégration indi- 

 ((ué par Cauchj {Œuvres complètes, i'" série, t. V, p. 894), qui consiste à substituer 

 aux équations 



-^ —Ji\t, "t'i, -l'i, ■ ■ ■ ,-i-n) (« = 1, 2, ....//) 



les équations 



d-i'i 



-JJ -'- '■Ji ( '; -^'i > -^-i-, ■■■> •^h). (' = 1,2, . . . , /(), 



à développer l'intégrale suivant les puissances de a, et à faire ensuite a = 1. On a bien 

 là encore des quadratures successives, mais elles sont enlièremenl difTérenles de celles 

 que donne la méthode précédente d'approximations, sauf quand les équations sont 

 linéaires. 



