( i383 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks équations indéterminées à deux et trois 

 variables qui n'ont qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers. Note 

 fie M. Edmond Maillet, présentée par M. Jordan. 



« Les équations indéterminées algébriques en nombres entiers à deux 

 variables et à coefficients entiers 



(i) Y{x, y) = rp„(a;, y) + cp,_, + . . . -F- ç„ = o, 



où ç,(>r, v) est l'ensemble des termes du degré ï de F(a;, y), peuvent se 

 diviser en deux grandes classes : i° celles qui ont un nombre limité de 

 solutions; 2° celles qui en ont une infinité. 



» Nous avons obtenu, au sujet de cette classification, les théorèmes 

 suivants, où F est supposé arithmétiquement irréductible ('). 



» Théorème I. — Supposons que (p„(^-, y) ne soit pas arithmétiquement 

 irréductible. Si r, est une racine simple réelle de cp„(i, c) = o, de degré 1, 

 i|/a(i,c) le facteur irréductible de degré k<^n de <p,;(i,c), qu'on suppose 

 exister et qui admette la racine c,, l'équation indéterminée F = o ne peut 

 avoir sur la branche infinie, dont V asymptote a pour coefficient angulaire c^, 

 un nombre infini de solutions en nombres entiers que si l'une des quantités 

 ?„_,(i,c,), (p„_„(i, c,), . . ., '^„_a(i, c,) est f: o. 



» Corollaire. — Si les racines réelles :^ o de cp„(i,e) = o sont toutes 

 simples, si de plus les asymptotes parallèles aux axes sont toutes à distance 

 finie, soit k le degré maximum d'un facteur irréductible de 9„(i,c), avec 

 k<Cn; ^i les polynômes 



sont divisibles par <p„(i,c) ou identiquement nuls, l'équation (1) n'a qu'un 

 nombre fini de solutions en nombres entiers. 



» Théorème II. — L'équation F = o ne peut avoir une infinité de solutions 

 en nombres entiers sur une branche infinie de la courbeY = o telle que le coeffi- 

 cient angulaire de l'asymptote soit rationnel, f^ n et racine simple de 



(o„(i,c) = o. 



(') C'esl-à-diie que F ne possède aucun diviseur algébrique à coefficients entiers 

 de degré < /' et > i. 



