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» Si les coefficients angulaires réels des asymptotes de F = o sont tous ra- 

 tionnels, ^o et différents, F = o n'a qu'un nombre fini de solutions en 

 nombres entiers. 



)) Théorème III. — Supposons que <!j„{x, y) admette le Jacteur simple irré- 

 ductible du /•'"'"■ degré Ç)(r>9.) 



/(jr.y) = 'J-n-x'' -^ a,.r'"-' y + . . . 4- a,.r'", 



à coefficients entiers. Soit c, une racine réelle de 



a„-|- aiC +.. .4-a,.r''= o, 



o„_, (!,<:■,)= ?«-2(i»c,)=...= ©„_(,._,(t,c,') = o, 



?«-iJi(i' c.) 7^0, [■'->/, 



-- la h'''""' réduite du développement en fraction continue de c^ : on aura (La- 

 grangej 



/^'/,-.,2C/^r"" (o <<.</• -2). 



C étant une quantité finie positive; sur la branche infinie de F = o qui a pour 

 asymptote y -- c,a;, l'équation F = o n'a qu'un nombre fini de solutions en 

 nombres entiers si l'on n'a pas 



K- <('•-- I — ^){r — co). 

 ou 



tj!. = (/- — T — w)(r — w), 



avec ] < ilU^"^*^ , l étant une quantité finie. 



» Malheureusement on ne connaît, croyons-nous, aucun moyen de 

 déterminer <o, sauf quand r = 2, où co = o. On en déduit en particulier : 



» Corollaire. — Soit 'p„_, = o et supposons que (p„(if, y) n'admette 

 aucun facteur irréductible /( a;, j) qui ne soit du premier ou du deuxième 

 degré à coeliicients entiers, ces facteurs étant simples et différents, ou 

 pour lequel /(i , c) = o ait une racine réelle. Supposons, de plus, que la 

 courbe F = o n'ait aucune asymptote parallèle aux axes de coordonnées. 

 Soit A une limite supérieure des quotients incomplets des périodes dans le 

 développement en fraction continue des racines réelles irrationnelles c' de 

 o„(i,c) = o; l'équation F = o n'a qu'un nombre infini de solutions en 



(') On peut part'aileiiient supposer /' ^= //. 



