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 nombres entiers si l'on n'a pas, quelle que soit la racine c' , 



2(A + i)(-e+ A + 0- 'i-''^''/^',,, ('). 



» Ces théorèmes peuvent s'étendre au cas de plusieurs variables ; on 

 obtient, par exemple : 

 » Théorème IV. — ■ Soit 



F {x, y, z) = (p„(j;, y, z) - o„_, -^- . . . + 



l'o ■ 



une équation algébrique à coefficients entiers entre trois variables or, y, z, 

 arithnétiquement irréductible, ©,(a;, y, z) étant l'ensemble des termes de 

 degré i en x, y, z et cp„(^, y, =) étant un produit de facteurs linéaires à coef- 

 ficients entiers, distincts a^x -{- b^y-r- C/^z, avec a^, b/,, C/,^ o (k = t , :> n) 



et tels qu'il n'existe aucune relation linéaire entre deux ou trois quelconques 

 d'entre eux. 



» 1° Si 9,_, — G ou cp,;_| = A-r;ç„(^,j', z), 1 étant une constante ration- 

 nelle, les solutions en nombres entiers de F = o, à part un nombre limité, 

 se trouvent sur un nombre fini de plans situés à distance finie et parallèles 

 aux n plans du système 9„(^, y, z) = o. 



» 2° Si ç„_, = o et si (p„_2 est un produit de facteurs linéaires, ration- 

 nels, irréductibles, distincts, xx -h ^y -h jz, avec x, ^, y ^ o et distincts 

 des facteurs linéaires de ç„ = o, les solutions en nombres entiers de 

 F = o, à part un nombre limité, se trouvent sur un nombre fini de droites 

 parallèles aux droites doubles de 9„(ic, y, :;) = o et situées sur la surface. 



» 3° Si (p„_, :::= 9„_2— o et SI F — 9„= cp„_,H- ©„-v-, -r- ■ • • + ?o-- ". 

 On^.,('j'^ 2) étant le premier des polynômes o„^3, ?„_,. . •-, 90 qui n'est 

 pas nul identiquement, l'équation F = o n'a qu'un nombre fini de solu- 

 tions en nombres entiers quand la surface F — 9,,=^ o n'a pas de points à 

 l'infini, ou quand a^,,^^ est un produit de facteurs linéaires rationnels, irré- 

 ductibles, difiérents et distincts de ceux de 9,,. » 



(') Nous désignons par | 2 | le rapdule de 0. 



