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 du signe / la fonction (p. Soit V^ le symbole défini par 



et soil V^ l'opération V^ répétée jx fois, on aura 



et, par suite, si nous effectuons sur les deux membres de (3) la même 

 opération, on obtiendra, A désignant une constante, 



V|;0,(a:", y) = A f //'----!'-o,(jr", y) cko,^. ■ 

 » Si p et q sont impairs, on pourra déterminer y. de telle sorte que 



p- 2 — 2y. = 2-q, |7. = ^ i 



» Dès lors une nouvelle opération V,, donnera la fonction <p,(ir°, y"). 

 » On a donc finalement les deux formules auxquelles nous voulions 

 arriver 



v/''"'^. (^". v") = A,(p,(a-,y'), 



V'"0„(,a;",j") = A„<p„(a;%j°), 



Aj et A„ sont des constantes et V^ désigne l'opération ^,., -h-. . .+ -j-:^- 



» IV. Si l'on applique les résultats précédents à l'équation A''"'U = o, 

 il vient 



G, {x\y') = if /-'o.(x", .rV/co,„, 



0„ (x" . v" ) = 2 S,„ f {x - x")'"-- o{x, j" ) dx. 



» La seconde formule donne, quel que soit m, la fonction Çn(j?", v"); la 

 première permet de trouver (^^{^x'^ , y") si ni est impair. Les résultats de 

 M. Tedone (') se trouvent ainsi complétés. 



» En général les deux fonctions o, et cp„, définies par l'analyse précé- 

 dente, seront distinctes et différentes de zéro. Dans le cas de l'équa- 

 tion des petits mouvements où A'''U = o, la fonction ç, obtenue en par- 



( ') Voir le Mémoire déjà cité. 



